Diagrama de Hasse
Em teoria da ordem, um ramo da matemática que estuda várias classes de relações binárias, um diagrama de Hasse é um tipo de diagrama matemático utilizado para representar um conjunto parcialmente ordenado finito, na forma de um grafo de sua redução transitiva. A redução transitiva de uma relação binária em um conjunto X é a relação mínima em X tal que o fecho transitivo de é o mesmo que o fecho transitivo de .
Imagem: Dnu72 · BY-SA · Openverse
Dois membros x e y de um conjunto parcialmente ordenado (S, ≤) são tais que «y cobre x» se x ≤ y e não há z tal que x ≤ z ≤ y. Para um conjunto parcialmente ordenado (S, ≤), um diagrama de Hasse é um grafo onde: Estas curvas podem se cruzar, mas não devem tocar outros vértices além daqueles que está ligando. Tal diagrama, com vértices nomeados, determina unicamente esta ordem parcial.
Imagem: Dnu72 · BY-SA · Openverse
Embora diagramas de Hasse sejam ferramentas simples e intuitivas para lidar com posets finitos, desenhar bons diagramas de Hasse se mostra uma tarefa dificil. O motivo é que em geral existirão muitas maneiras possíveis para se desenhar um diagrama de Hasse para um dado poset. A simples técnica de começar com os elementos minimais de uma ordem e então adicionar elementos maiores incrementalmente frequentemente produz resultados pobres: simetrias e estruturas internas da ordenação são facilmente perdidas.
Subconjuntos
O exemplo seguinte mostra o problema. Considere o conjunto das partes P ( S ) {\displaystyle {\mathcal {P}}(S)} do conjunto S = {a, b, c, d}, i.e. o conjunto de todos os subconjuntos de S, ordenado pela relação de inclusão ⊆ {\displaystyle \subseteq } . Abaixo estão três diagramas de Hasse diferentes para esta ordem parcial (Note que cada subconjunto S’ tem o vértice nomeado com uma codificação 1-0 de para cada um dos quatro elementos, sendo ('1') se está ou ('0') se não está presente em S’.): O diagrama mais a esquerda deixa claro que o conjunto das partes é um poset graduado. O diagrama do meio tem a mesma estrutura graduada, mas ao fazer algumas arestas maiores do que outras ele dá enfase na construção do conjunto das partes como a união de dois cubos tridimensionais: os vértices do cubo abaixo (esquerda) representam subconjuntos que não contém um elemento particular (digamos d) de S, enquanto que o de cima (direita) representa os subconjuntos que contém d. O diagrama mais a direita mostra algumas das simetrias internas da estrutura.
Partições
O diagrama de Hasse seguinte também mostra as partições de um conjunto com quatro elementos, ordenados pela relação de refinamento. O diagrama da esquerda enfatiza o fato dos elementos 0...4 formarem uma reticulado. Todo o reticulado não é simplesmente um semirreticulado dobrado como no exemplo do hipercubo acima. O segundo diagrama é simétrico refletido. As arestas no meio seriam todas verticais, mas para torná-las discrimináveis elas estão desenhadas levemente curvadas. O terceiro diagrama enfatiza a estrutura graduada do reticulado. Todos os elementos com o mesmo rank estão no mesmo nível do diagrama de Hasse, mas muito da simetria está perdida.
Imagem: Dnu72 · BY-SA · Openverse
Se uma ordem parcial pode ser desenhada em um diagrama de Hasse sem que haja duas arestas que se cruzem, este grafo de cobertura é dita ser um grafo planar. Um número de resultados sobre um diagrama de Hasse planar para cima e livre de cruzamentos são conhecidos:
