Conjunto de partes
A família de todos os subconjuntos de um conjunto dado é chamado de conjunto de partes de , denotado por ou .
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Se S {\displaystyle S} é o conjunto de três elementos { x , y , z } {\displaystyle \{x,y,z\}} a lista completa de subconjuntos de A {\displaystyle A} é: e portanto o conjunto de partes de A {\displaystyle A} é o conjunto de oito elementos:
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O número de elementos do conjunto de partes de A {\displaystyle A} é sempre maior que o número de elementos de A {\displaystyle A} , mesmo no caso de A {\displaystyle A} ter um número infinito de elementos. Se A {\displaystyle A} tem n {\displaystyle n} elementos, pode-se provar que P ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)} tem 2 n {\displaystyle 2^{n}} elementos. No caso de A {\displaystyle A} ser um conjunto infinito, define-se 2 | A | = | P ( A ) | {\displaystyle 2^{|A|}=|{\mathfrak {P}}(A)|} (em que | A | {\displaystyle |A|} representa o número de elementos de A {\displaystyle A} ). Por outro lado, sendo ℵ 0 = | N | {\displaystyle \aleph _{0}=|\mathbb {N} |} , também pode ser provado que 2 ℵ 0 = | R | {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=|\mathbb {R} |} . A hipótese do continuum especula se existe algum conjunto entre N {\displaystyle \mathbb {N} } e P ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)} , ou seja, um conjunto com mais elementos que N {\displaystyle \mathbb {N} } e menos elementos que P ( A ) {\displaystyle {\mathfrak {P}}(A)} .
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Na teoria dos conjuntos, em particular na sua formulação segundo os axiomas de Zermelo-Fraenkel, existe um axioma cuja finalidade é garantir a existência do conjunto das partes: o axioma da potência.
