Função limitada
Em matemática, uma função é considerada limitada quando o conjunto de todos os seus valores de saída (sua imagem) é um conjunto limitado. Se uma função não atende a essa condição, ela é chamada de ilimitada.
Pontos-chave
- Uma função é limitada se sua imagem é um conjunto limitado.
- Funções ilimitadas são aquelas que não são limitadas.
- Uma função real é limitada se for limitada superior e inferiormente.
- Se f é limitada e o limite de g(x) tende a 0, então o limite do produto f(x)g(x) também tende a 0.
Imagem: Rodrigo_Soldon · BY-ND · Openverse
Uma função real, representada como f : D → R, é classificada como limitada se existir uma constante M (não negativa) tal que o valor absoluto de f(x) seja sempre menor ou igual a M para todos os x no domínio D. Se existe uma constante M tal que f(x) ≤ M para todo x, a função é limitada superiormente. Da mesma forma, se existe uma constante m tal que f(x) ≥ m para todo x, a função é limitada inferiormente. Portanto, uma função real é limitada apenas quando ela é simultaneamente limitada superiormente e inferiormente. Uma função real é ilimitada se ela for ilimitada superiormente ou ilimitada inferiormente.
Imagem: Rodrigo_Soldon · BY-ND · Openverse
Consideremos duas funções f e g com contra-domínio real. Se a função f é limitada e o limite de g(x) quando x se aproxima de um ponto 'a' é igual a 0 (lim x→a g(x) = 0), então o limite do produto f(x)g(x) quando x se aproxima de 'a' também será 0 (lim x→a f(x)g(x) = 0). Se g(x) for uma função não-negativa e positiva, e como f(x) é limitada, existe um M ≥ 0 tal que |f(x)| ≤ M. Isso implica que |f(x)g(x)| ≤ M|g(x)|. Pelo teorema do confronto, o limite de f(x)g(x) quando x se aproxima de 'a' é 0. O raciocínio é semelhante para o caso em que g(x) é negativa.
