Conjunto limitado
Em matemática, foram desenvolvidos vários conceitos de conjunto limitado cada um adaptado a seu contexto. A ideia de conjunto limitado está intimamente ligada à ideia de conjunto pré-compacto, ou seja, cujo fecho é compacto. Em espaços métricos completos de dimensão finita, estes conceitos coincidem.
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Um subconjunto dos números reais é limitado se estiver contido num intervalo fechado limitado, ou seja da forma [ a , b ] a < b {\displaystyle [a,b]~~a<b\,} . Se um subconjunto de R {\displaystyle \mathbb {R} } está contido num intervalo da forma ( − ∞ , a ] {\displaystyle (-\infty ,a]\,} diz-se limitado superiormente; se está contido num intervalo da forma [ a , + ∞ ) {\displaystyle [a,+\infty )\,} diz-se limitado inferiormente.
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As definições são equivalentes, frente à desigualdade triangular:
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Para provar esta última afirmação em um espaço métrico escreva: Da compacidade, pode-se tomar uma sub-cobertura finita: Em espaços lineares topológicos, imite a demonstração substituindo B x , n {\displaystyle B_{x,n}\,} , pot n V {\displaystyle nV\,}
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Todo espaço métrico possui uma topologia induzida pela métrica. Quando este espaço métrico é também um espaço vetorial, pode acontecer de também ser uma espaço linear topológico. Neste caso, o conceito de conjunto limitado na métrica pode diferir do conceito de limitado na topologia. Usa-se a notação d-limitado e tau-limitado. Cabe observar que um espaço linear topológico Hausdorff nunca é limitado.
