Desigualdade triangular
A desigualdade triangular é um teorema da geometria euclidiana que afirma que, num triângulo o comprimento de um dos lados é sempre inferior à soma dos comprimentos dos outros dois lados. No texto clássico Os Elementos, de Euclides, este teorema é a Proposição 20 do Livro I. É nada mais que uma reformulação do conceito intuitivo de que é mais curto o caminho reto entre A e B que o caminho de A até C somado ao de C até B.
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No conjunto dos números reais, chamamos de desigualdade triangular, em analogia ao caso da geometria plana a seguinte expressão envolvendo módulos: Para a primeira, escreva | u − v | = | u + ( − v ) | ≤ | u | + | − v | = | u | + | v | {\displaystyle |u-v|=|u+(-v)|\leq |u|+|-v|=|u|+|v|} Para a segunda, | u | = | v + ( u − v ) | ≤ | v | + | u − v | {\displaystyle |u|=|v+(u-v)|\leq |v|+|u-v|\,} A terceira é consequência da segunda, trocando os papéis de u e v.
Teorema
Em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} , quaisquer que sejam x , y ∈ R n {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}} , tem-se: ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ {\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|} Havendo igualdade se e só se y = α x {\displaystyle y=\alpha x} com | 1 + α | = 1 + | α | {\displaystyle |1+\alpha |=1+|\alpha |} . Note que α = 0 {\displaystyle \alpha =0} está incluído mas α ≤ − 1 {\displaystyle \alpha \leq -1} não.
Demonstração
Utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, prova-se o teorema facilmente. Tem-se (utilizando propriedades do produto interno): ‖ x + y ‖ 2 = ⟨ x + y , x + y ⟩ = ⟨ x , x ⟩ + 2 ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , y ⟩ {\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle } (I) Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz aplicada em (I): ⟨ x , x ⟩ + 2 ⟨ x , y ⟩ + ⟨ y , y ⟩ ≤ ‖ x ‖ 2 + 2 ‖ x ‖ ‖ y ‖ + ‖ y ‖ 2 = ( ‖ x ‖ + ‖ y ‖ ) 2 {\displaystyle \langle x,x\rangle +2\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}=\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}} Tendo em conta que a norma é um valor não-negativo, segue que:
Sejam X e Y dois números complexos, então:
A desigualdade triangular é tão importante nos conceitos da análise matemática e topologia que se torna um axioma na definição de métrica, ou seja toda métrica d deve satisfazer:
A desigualdade triangular em espaços normados escreve-se da seguinte forma: E generaliza-se por indução matemática para:
A seguinte desigualdade é valida para qualquer função real f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} integrável.
