Função real
Em matemática, define-se como função real qualquer função cujo contradomínio está contido no conjunto dos números reais.
Informalmente, uma função é uma terna ( A , B , f : A ⟶ B ) {\displaystyle (A,B,f:A\longrightarrow B)} onde A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} são conjuntos e f : A ⟶ B {\displaystyle f:A\longrightarrow B} é uma lei que associa a cada elemento de A {\displaystyle A} (dito domínio da função), um único elemento de B {\displaystyle B} (dito contradomínio da função) e denominamos esse elemento de conjunto imagem da função. Por exemplo, fixado o tempo, a cada pessoa podemos associar uma única altura (ou um único peso, ou uma única digital, etc) e assim obtemos uma função altura do conjunto das pessoas no conjunto de números reais (na verdade, o conjunto imagem é restrito ao intervalo ( 0 , 3 ) {\displaystyle (0,3)} e atingindo máximo em 2,72, que é a altura de Robert Wadlow). Uma função real (ou a valores reais) é formalmente uma função cujo contradomínio está contido no conjunto de números reais. A seguir consideraremos apenas funções reais cujos domínios são subconjuntos dos números reais.
Existem algumas formas de representar uma função real. Uma delas foi criada por René Descartes no século XVII, permitindo estabelecer uma representação geométrica de uma função real a partir do plano cartesiano. Existem também outros sistemas de coordenadas (polares, cilíndricas, esféricas, etc) e que cada um deles se torna adequado para diferentes situações. Além disso, sob algumas condições especiais, é possível transitar entre eles através do teorema de mudança de variáveis.
f ( x ) = a n x n + a n − 1 x n − 1 + ⋯ + a 1 x + a 0 , {\displaystyle f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0},} onde cada coeficiente é um número real fixado e n {\displaystyle n} é um número natural fixado. Nesse tipo estão as funções afins, quadráticas, cúbicas, quárticas. Elas formam de fato, o tipo computacionalmente mais fácil de trabalhar (e aqui nos referimos ao estudo de crescimento, decrescimento, derivadas, integrais, etc). Por outro lado, Galois mostrou que quando n ≥ 5 {\displaystyle n\geq 5} , as equações que geradas por elas não são solúveis por radicais. Além disso, os quocientes de funções polinomiais geram as funções racionais, e essas podem apresentar descontinuidades como por exemplo:
Função exponenciais
f ( x ) = a x , {\displaystyle f(x)=a^{x},} onde a {\displaystyle a} é um número real positivo fixado. São mais conhecidas pela taxa de crescimento delas denominado Crescimento exponencial. A mais famosa delas é a Função exponencial natural denotada f ( x ) = e x {\displaystyle f(x)=e^{x}} , onde e {\displaystyle e} é o número de Euler. A função inversa é conhecida como logaritmo natural Dentre as diversas aplicações, estão o estudo de crescimento e decrescimento de populações. Da função exponencial ainda obtemos as funções hiperbólicas, que têm características parecidas com as funções trigonométricas usuais, como frente à diferenciação e a relação fundamental da trigonometria.
Trigonométricas
f ( x ) = sin ( x ) {\displaystyle f(x)=\sin(x)} , g ( x ) = cos ( x ) {\displaystyle g(x)=\cos(x)} e todas as funções geradas por quocientes, somas ou produtos dessas. Essencialmente funções trigonométricas são usadas para descrever fenômenos periódicos, devido a conveniência de termos períodos fixos para cada uma delas de 2 π {\displaystyle 2\pi } .
O estudo das funções reais deu origem a uma área da Matemática: a análise real. Algumas propriedades usualmente estudadas são: Paridade: Uma função real é par quando f ( − x ) = f ( x ) {\displaystyle f(-x)=f(x)} para todo x {\displaystyle x} em seu domínio e é ímpar quando f ( − x ) = − f ( x ) {\displaystyle f(-x)=-f(x)} para todo x {\displaystyle x} em seu domínio. Por exemplo, as funções cosseno e cosseno hiperbólico são pares, enquanto as funções seno e seno hiperbólico são ímpares. Mas nem toda função se encaixa numa dessas duas classificações, por exemplo f ( x ) = x 2 − x {\displaystyle f(x)=x^{2}-x} . Quando uma função tem uma paridade (ou uma simetria em geral), isso permite abreviar alguns cálculos acerca dela. Periodicidade: Seja p {\displaystyle p} um número real positivo. Dizemos que uma função real é periódica de período p {\displaystyle p} , quando f ( x + p ) = f ( x ) {\displaystyle f(x+p)=f(x)} para todo x {\displaystyle x} em seu domínio. Por exemplo, as funções seno e cosseno são periódicas de período 2 π {\displaystyle 2\pi } .
