Conjunto aberto
Em topologia, um conjunto diz-se aberto se você escolher qualquer ponto do conjunto e movimentar-se minimamente para qualquer lado, ainda se mantém no conjunto.
Imagem: Joana Seabra Guimarães · BY-ND · Openverse
Espaços topológicos
Em topologia, a noção de aberto é primitiva: uma topologia T {\displaystyle T} em um conjunto X {\displaystyle X} é definida como um subconjunto do conjunto das partes de X {\displaystyle X} (satisfazendo determinadas propriedades), e cada elemento de T {\displaystyle T} é chamado de um aberto ou conjunto aberto.
Espaços métricos
Em um espaço métrico, um subconjunto é dito aberto se ele for a vizinhança de cada um de seus elementos. Ou seja, dado um espaço métrico S {\displaystyle S\,\!} , um subconjunto X {\displaystyle X\,\!} de S {\displaystyle S\,\!} é aberto se, para cada ponto a ∈ X {\displaystyle a\in X} , existe δ > 0 {\displaystyle \delta >0\,\!} tal que a bola aberta B ( a , δ ) {\displaystyle B(a,\delta )\,\!} ainda esteja contida em X {\displaystyle X\,\!} .
Imagem: Portuguese_eyes · BY-SA · Openverse
Como R {\displaystyle \mathbb {R} } (com a topologia usual) é um espaço métrico, um subconjunto X {\displaystyle X\,\!} de R {\displaystyle \mathbb {R} } é aberto se, para cada ponto a ∈ R {\displaystyle a\in \mathbb {R} } , existe ϵ {\displaystyle \epsilon \,\!} tal que ( a − ϵ , a + ϵ ) ⊂ X {\displaystyle (a-\epsilon ,a+\epsilon )\subset X} . Em R {\displaystyle \mathbb {R} } , um subconjunto é aberto se e só for reunião (possivelmente infinita) de intervalos abertos. O próprio conjunto dos números reais é um conjunto aberto.
