Dízima periódica
Dízima periódica é um número que quando escrito no sistema decimal apresenta uma série infinita de algarismos decimais que, a partir de certo algarismo, se repetem em grupos de um ou mais algarismos, ordenados sempre na mesma disposição, chamados de período.
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1 2 = 0 , 5 = 50 % {\displaystyle {\dfrac {1}{2}}=0,5=50\%} - dízima finita (ou decimal exato). 0 , 3333333333... {\displaystyle 0,3333333333...} - dízima infinita (ou decimal não exato). 2 , 3256565656... {\displaystyle 2,3256565656...} - dízima infinita (ou decimal não exato).
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O conjunto de números que se repete na parte decimal (após a vírgula) em algum momento é chamado de período. O período de uma dízima pode ser denotado por uma barra acima: 0 , 4629629... = 0 , 4 629 ¯ {\displaystyle 0,4629629...=0,4{\overline {629}}} . Neste caso, o período é 629, sendo esse número composto por 3 algarismos (comprimento do período).
Numa dízima periódica simples, o período aparece imediatamente após a vírgula (a parte decimal do número), pois não há anteperíodo, podendo ou não ter uma parte inteira não nula.
Na dízima periódica composta, pode haver uma parte inteira e há um ou mais algarismos entre a vírgula e o período, que não entram na composição do período. Esse conjunto de algarismos que aparecem na parte decimal sem participar do período é chamado de anteperíodo.
A repetição de algarismos geralmente é indicada pelo sinal de reticências ou por uma barra (traço) acima do período.
Toda dízima periódica representa um número racional, isto é justificado de forma construtiva ao encontrar a fração que dá origem à dízima.
Exemplo
1. Seja a dízima x = 1 , 253535353 … {\displaystyle x=1,253535353\ldots \,} . Observamos a repetição dos algarismos 5 e 3 (período), tomamos então o número 10 x {\displaystyle 10x} para "mover" o anteperíodo (2) para a parte inteira da dízima: 2. Multiplicamos novamente a expressão por um múltiplo de 10, desta vez tomando como referência a quantidade de algarismos que formam o período. No caso, são dois algarismos que formam o período (5 e 3), portanto, multiplicamos a expressão por 100 (a quantidade de zeros equivale à quantidade de algarismos do período): 1000 x = 1253 , 535353.... {\displaystyle 1000x=1253,535353....} 3. Se subtrairmos 10 x {\displaystyle 10x\,} de 1000 x {\displaystyle 1000x\,} temos:
Algoritmo Usual
A geratriz de uma dízima periódica simples pode ser encontrada a partir de procedimentos simples seguindo o algoritmo: 1 , 3232... = 1 , 32 ¯ {\displaystyle 1,3232...=1,{\overline {32}}} A parte inteira é 1 e o período é 32, logo, a fração geratriz dessa dízima terá um numerador 132 - 1 e um denominador 99 (o período tem 2 algarismos, portanto, serão dois "noves"). 1 , 3232... = 1 , 32 ¯ = 132 − 1 99 = 131 99 {\displaystyle 1,3232...=1,{\overline {32}}={\frac {132-1}{99}}={\frac {131}{99}}} Da mesma forma, geratriz de uma dízima periódica composta é a fração cujo numerador é composto pela parte inteira, anteperíodo e período subtraído do anteperíodo e cujo denominador é formado por tantos "noves" quantos forem os algarismos do período, juntamente com a quantidade de zeros que representa a quantidade de algarismos do anteperíodo.
Toda dízima periódica pode ser decomposta em infinitas somas, dado que o período se repete infinitamente, por exemplo: A dízima 0 , 313131... {\displaystyle 0,313131...} (que pode ser reescrita na forma 0 , 31 ¯ {\displaystyle 0,{\overline {31}}} ) pode ser decomposta na soma infinita 0 , 31 + 0 , 0031 + 0 , 000031 + . . . {\displaystyle 0,31+0,0031+0,000031\;+\;...} Essa soma pode ser interpretada como uma série geométrica infinita, cujo primeiro termo é 0,31 e a razão é igual ao inverso de 10 elevado ao número de algarismos do período, que no caso é 2, ou seja, 10 − 2 {\displaystyle 10^{-2}} ou 1 100 {\displaystyle {\frac {1}{100}}} . Assim, podemos representar essa dízima como uma série infinita: ∑ k = 0 ∞ ( 0 , 31 ⋅ 10 − 2 k ) = ∑ k = 0 ∞ ( 0 , 31 ⋅ 1 100 k ) = ∑ k = 0 ∞ ( 31 10 2 ( k + 1 ) ) {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left(0,31\cdot 10^{-2k}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(0,31\cdot {\frac {1}{100^{k}}}\right)=\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {31}{10^{2(k+1)}}}\right)} Considerando ∣ q ∣ {\displaystyle \mid \ q\ \mid } o valor absoluto da razão e que ∣ q ∣< 1 {\displaystyle \mid \ q\mid <1} , temos uma série convergente que pode ser calculada pela fórmula da série geométrica infinita a 1 1 − q {\displaystyle {\frac {a_{1}}{1-q}}} : ∑ k = 0 ∞ ( 0 , 31 ⋅ 1 100 k ) = 0 , 31 1 − 1 100 = 0 , 31 99 100 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\left(0,31\cdot {\frac {1}{100^{k}}}\right)={\frac {0,31}{1-{\frac {1}{100}}}}={\frac {0,31}{\frac {99}{100}}}} Simplificando essa fração, obtemos a geratriz da dízima: 0 , 31 99 100 = 31 99 {\displaystyle {\frac {0,31}{\frac {99}{100}}}={\frac {31}{99}}} Portanto, 0 , 31 ¯ = 31 99 {\displaystyle 0,{\overline {31}}={\frac {31}{99}}} .
