Sistema de numeração decimal

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Para escrever números, o sistema decimal usa dez dígitos decimais, um marcador decimal, e, para números negativos, um sinal de menos "-". Os dígitos decimais são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; o separador decimal é o ponto "." em muitos países, mas também uma vírgula "," em outros países. Para representar um número não negativo, um numeral decimal consiste em: a) uma sequência (finita) de dígitos (como "2021"), em que toda a sequência representa um número inteiro, e cada dígito em uma posição subsequente (lido da direita para a esquerda) está multiplicado por uma potência de 10, começando do 0: 2 ⋅ 10 3 + 0 ⋅ 10 2 + 2 ⋅ 10 1 + 1 ⋅ 10 0 {\displaystyle 2\cdot 10^{3}+0\cdot 10^{2}+2\cdot 10^{1}+1\cdot 10^{0}} A expressão geral é descrita como: a m a m − 1 ⋯ a 0 {\displaystyle a_{m}a_{m-1}\cdots a_{0}} representa o número a m 10 m + a m − 1 10 m − 1 + . . . + a 0 10 0 {\displaystyle a_{m}10^{m}+a_{m-1}10^{m-1}+...+a_{0}10^{0}} . Onde o índice “m” representa a posição decimal de cada dígito, sendo o “m = 0” a casa das unidades, o “m = 1” das dezenas, e assim por diante.

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As frações decimais (denominadas algumas vezes de números decimais, especialmente em contextos envolvendo frações explícitas) são números racionais que podem ser expressos como uma fração cujo denominador é uma potência de base 10. Por exemplo, os decimais 0.8, 14.89, 0.00024, 1.618, 3.14159 são representados pelas frações 8 10 , 1489 100 , 24 100000 , 1618 1000 {\displaystyle {\frac {8}{10}},{\frac {1489}{100}},{\frac {24}{100000}},{\frac {1618}{1000}}} e 314159 100000 , {\displaystyle {\frac {314159}{100000}},} e são, portanto, números decimais. Geralmente, um decimal com n dígitos após o separador de casas decimais é representado pela fração com denominador 10 n {\displaystyle 10^{n}} e com numerador pelo número inteiro obtido removendo o separador. Portanto, um número é uma fração decimal somente se, ele possuir uma representação decimal finita. Expressos como uma fração decimal totalmente reduzida, os números decimais são aqueles cujo denominador é o produto de uma potência de base 2 com uma potência de base 5. Dessa forma, os menores denominadores dos números decimais são:

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Os números decimais não permitem uma representação exata para todos os números reais, por exemplo, para o número real π. No entanto, eles permitem aproximar cada número real com qualquer precisão desejada, por exemplo, o decimal 3,14159 se aproxima do real π, sendo menor que 10-5, portanto, decimais são amplamente usados na ciência, engenharia e na vida cotidiana. Mais precisamente, para todo número real x, e todo inteiro positivo n, há dois decimais L e u com no máximo n dígitos após a casa decimal tais que L ≤ x ≤ u e (u - L) = 10- n. Os números são frequentemente obtidos como resultado de medições. Como as mesmas estão sujeitas à incerteza de medição com um limite superior conhecido, o resultado de uma medição é bem representado por um decimal com n dígitos após a casa decimal, assim que o erro de medição absoluto é limitado de cima por 10- n. Na prática, os seus resultados são frequentemente fornecidos com um certo número de dígitos após a vírgula decimal, que indica os limites de erro. Por exemplo, embora 0,080 e 0,08 denotem o mesmo número, o numeral decimal 0,080 sugere uma medição com um erro menor que 0,001, enquanto o numeral 0,08 indica um erro absoluto limitado por 0,01. Em ambos os casos, o valor verdadeiro da quantidade medida pode ser, por exemplo, 0,0803 ou 0,0796 (ver também algarismos significativos).

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Para um número real x e um inteiro n ≥ 0, seja [ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} denotar a expansão decimal (finita) do maior número que não seja maior que x que tem exatamente n dígitos após a casa decimal. Deixe d i {\displaystyle d_{i}} denotar o último dígito de [ x ] i {\displaystyle [x]_{i}} . É simples ver que [ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} pode ser obtido anexando d n {\displaystyle d_{n}} a direita de [ x ] n − 1 {\displaystyle [x]_{n-1}} . Assim se tem [ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} = [ x ] 0 {\displaystyle [x]_{0}} . d 1 {\displaystyle d_{1}} d 2 {\displaystyle d_{2}} ... d n − 1 {\displaystyle d_{n-1}} d n {\displaystyle d_{n}} , e a diferença de [ x ] n − 1 {\displaystyle [x]_{n-1}} e [ x ] n {\displaystyle [x]_{n}} ascende a | [ x ] n − [ x ] n − 1 | {\displaystyle \left\vert [x]_{n}-[x]_{n-1}\right\vert } = d n {\displaystyle d_{n}} . 10 − n < 10 − n + 1 {\displaystyle 10^{-n}<10^{-n+1}} ,

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A divisão longa permite calcular a expansão decimal infinita de um número racional. Se o número racional for uma fração decimal, a divisão termina eventualmente, produzindo um numeral decimal, que pode ser prolongado em uma expansão infinita pela adição de um número infinito de zeros. Se o número racional não for uma fração decimal, a divisão pode continuar indefinidamente. No entanto, como todos os restos sucessivos são menores que o divisor, há apenas um número finito de restos possíveis e, após algum lugar, a mesma sequência de dígitos deve ser repetida indefinidamente no quociente. Ou seja, tem-se uma casa decimal repetida. Por exemplo, 1 81 = 0 , 012345679012... {\displaystyle {\frac {1}{81}}=0,012345679012...} (com o grupo 012345679 repetindo indefinidamente). O inverso também é verdadeiro: se, em algum ponto da representação decimal de um número, a mesma sequência de dígitos começa a se repetir indefinidamente, o número é racional.