Somatório
Em matemática, somatório ou somatória é a adição de uma sequência de quaisquer tipos de números, chamados parcelas ou somando; o resultado é sua soma ou total. Além de números, outros tipos de valores também podem ser somados: funções, vetores, matrizes, polinômios e, em geral, elementos de qualquer tipo de objeto matemático para o qual esteja definida uma operação denotada por "+".
Imagem: STJNoticias · BY · Openverse
Notação sigma maiúsculo
A notação matemática utiliza um símbolo para representar de forma compacta o somatório de vários termos similares: o símbolo de somatório, ∑ {\displaystyle \textstyle \sum } , uma forma ampliada da letra grega maiúscula sigma. Ele é definido como ∑ i = m n x i = x m + x m + 1 + x m + 2 + ⋯ + x n − 1 + x n {\displaystyle \sum _{i\mathop {=} m}^{n}x_{i}=x_{m}+x_{m+1}+x_{m+2}+\cdots +x_{n-1}+x_{n}} em que i {\displaystyle i} é o índice do somatório; x i {\displaystyle x_{i}} é uma variável indexada que representa cada termo do somatório; m {\displaystyle m} é o índice inicial (ou limite inferior), e n {\displaystyle n} é o índice final (ou limite superior). A expressão " i = m {\displaystyle i=m} " sob o símbolo de somatório significa que o índice i {\displaystyle i} começa igual a m {\displaystyle m} . O índice i {\displaystyle i} é incrementado em uma unidade a cada termo subsequente, terminando quando i = n {\displaystyle i=n} .[b]
Imagem: Portuguese_eyes · BY-SA · Openverse
Os somatórios são úteis para expressar somas arbitrárias de números, por exemplo em fórmulas. Se queremos representar a fórmula para se calcular a média aritmética de n {\displaystyle n} números, teremos a seguinte expressão: X ¯ = 1 n ∑ i = 1 n x i , {\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i},} onde { x i } i = 1 n {\displaystyle \{x_{i}\}_{i=1}^{n}} é um dada sequência de n {\displaystyle n} números.
Imagem: Portuguese_eyes · BY-SA · Openverse
Sejam { x k } k ∈ N , {\displaystyle \{x_{k}\}_{k\in \mathbb {N} },} { y k } k ∈ N {\displaystyle \{y_{k}\}_{k\in \mathbb {N} }} sequências (por exemplo, de números reais) e α {\displaystyle \alpha } um escalar. Então, temos: 1. ∑ i = m n α x i = α ∑ i = m n x i {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}\alpha x_{i}=\alpha \sum _{i=m}^{n}x_{i}} 2. ∑ i = m n ( x i ± y i ) = ∑ i = m n x i ± ∑ i = m n y i {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}(x_{i}\pm y_{i})=\sum _{i=m}^{n}x_{i}\pm \sum _{i=m}^{n}y_{i}} 3. ∑ i = m m x i = x m {\displaystyle \sum _{i=m}^{m}x_{i}=x_{m}} 4. ∑ i = m n x i = ∑ i = m p x i + ∑ i = p + 1 n x i , ∀ m ≤ p ≤ n {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=\sum _{i=m}^{p}x_{i}+\sum _{i=p+1}^{n}x_{i},\quad \forall m\leq p\leq n} 5. ∑ i = m n x i = ∑ i = m + p n + p x i − p {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}x_{i}=\sum _{i=m+p}^{n+p}x_{i-p}} 6. ∑ i = m n ( x i + 1 − x i ) = x n + 1 − x m {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}(x_{i+1}-x_{i})=x_{n+1}-x_{m}}
Imagem: Portuguese_eyes · BY-SA · Openverse
Dado o somatório: ∑ i = m n x i {\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{x_{i}}} O número de termos da expressão resultante será dado por t = n + 1 − m − r {\displaystyle t=n+1-m-r} , onde: t {\displaystyle t} é o número de termos do somatório expandido; n {\displaystyle n} é o índice final (ou limite superior); m {\displaystyle m} é o índice inicial (ou limite inferior); r {\displaystyle r} é o número de restrições as quais o intervalo [ m , n ] {\displaystyle [m,\ n]} está submetido. 1) ∑ i = 1 5 2 i {\displaystyle \sum _{i=1}^{5}2i} O número de termos que expressão resultante terá é: t = n + 1 − m − r = 5 + 1 − 1 − 0 {\displaystyle t=n+1-m-r=5+1-1-0} = 5 {\displaystyle =5} ou seja, 5 termos: ∑ i = 1 5 2 i = 2 ( 1 ) + 2 ( 2 ) + 2 ( 3 ) + 2 ( 4 ) + 2 ( 5 ) = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 {\displaystyle \sum _{i=1}^{5}2i=2(1)+2(2)+2(3)+2(4)+2(5)=2+4+6+8+10} 2) ∑ i = 0 7 i x + 2 ( i − 2 ) ( i − 3 ) {\displaystyle \sum _{i=0}^{7}ix+{\frac {2}{(i-2)(i-3)}}} , para i ≠ 2 , 3 {\displaystyle i\neq 2,\ 3} .
Imagem: Dominguez Alvarez · BY · Openverse
1) Fixando-se, por exemplo, n = 2 {\displaystyle n=2} nas expressões abaixo: ∑ p = 1 n 1 p = 1 + 1 2 + ⋯ {\displaystyle \sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p}}=1+{\frac {1}{2}}+\cdots } ∑ p = 1 n 1 p + 1 = 1 2 + 1 3 . {\displaystyle \sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}.} Para n = 3 : {\displaystyle n=3:} ∑ p = 1 n 1 p = 1 + 1 2 + 1 3 + ⋯ {\displaystyle \sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots } ∑ p = 1 n 1 p + 1 = 1 2 + 1 3 + 1 4 + ⋯ . {\displaystyle \sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p+1}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .} Comparando as expressões, dá para observar de um modo geral que: ∑ p = 1 n 1 p + 1 = ∑ p = 1 n 1 p − 1 + 1 n + 1 {\displaystyle \sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p+1}}=\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p}}-1+{\frac {1}{n+1}}} ∑ p = 1 n 1 p − ∑ p = 1 n 1 p + 1 = 1 − 1 n + 1 {\displaystyle \sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p}}-\sum _{p=1}^{n}{\frac {1}{p+1}}=1-{\frac {1}{n+1}}}
Imagem: Portuguese_eyes · BY-SA · Openverse
∑ i = 1 5 i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 {\displaystyle \sum _{i=1}^{5}i=1+2+3+4+5=15} Ter em mente que em Python um range é um intervalo dado pela condição i = 0 ; i < n {\displaystyle i=0;~i<n} . range(6) = (i = 0; i < 6) = {0, 1, 2, 3, 4, 5}
