Matriz diagonalizável

O fato fundamental sobre operadores e matrizes diagonalizáveis é expresso pelo seguinte: Outra caracterização: Uma matriz ou operador linear é diagonalizável sobre o corpo F se, e somente se, o seu polinômio minimal é um produto de fatores lineares distintos sobre F. (Colocado de outra forma, uma matriz é diagonalizável se e só se todos os seus divisores elementares são lineares.) A seguinte condição suficiente (mas não necessária) muitas vezes é útil. [ − 1 3 − 1 − 3 5 − 1 − 3 3 1 ] , {\displaystyle {\begin{bmatrix}-1&3&-1\\-3&5&-1\\-3&3&1\end{bmatrix}},} que tem autovalores 1, 2, 2 (não todos distintos) e é diagonalizável com forma diagonal (semelhante a A) [ 1 0 0 0 2 0 0 0 2 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{bmatrix}}} e matriz de mudança de base P [ 1 1 − 1 1 1 0 1 0 3 ] . {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1&-1\\1&1&0\\1&0&3\end{bmatrix}}.} Seja A uma matriz sobre F. Se A é diagonalizável então o mesmo vale para qualquer potência de A. Por outro lado, se A é invertível, F é algebricamente fechado, e An é diagonalizável para algum n que não seja um múltiplo inteiro da característica de F, então A é diagonalizável. Prova: Se An é diagonalizável, então A é anulada por algum polinômio ( x n − λ 1 ) ⋯ ( x n − λ k ) , {\displaystyle \left(x^{n}-\lambda _{1}\right)\cdots \left(x^{n}-\lambda _{k}\right),} que não tem raiz múltipla (desde que λ j ≠ 0 {\displaystyle \lambda _{j}\neq 0} ) e é dividido pelo polinômio minimal de A.

Se uma matriz A pode ser diagonalizada, isto é, P − 1 A P = ( λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … λ n ) , {\displaystyle P^{-1}AP={\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{pmatrix}},} A P = P ( λ 1 0 … 0 0 λ 2 … 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 … λ n ) . {\displaystyle AP=P{\begin{pmatrix}\lambda _{1}&0&\dots &0\\0&\lambda _{2}&\dots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\dots &\lambda _{n}\end{pmatrix}}.} Escrevendo P como uma matriz de blocos de seus vetores coluna α → i {\displaystyle {\vec {\alpha }}_{i}} P = ( α → 1 α → 2 ⋯ α → n ) , {\displaystyle P={\begin{pmatrix}{\vec {\alpha }}_{1}&{\vec {\alpha }}_{2}&\cdots &{\vec {\alpha }}_{n}\end{pmatrix}},} A α → i = λ i α → i ( i = 1 , 2 , ⋯ , n ) . {\displaystyle A{\vec {\alpha }}_{i}=\lambda _{i}{\vec {\alpha }}_{i}\qquad (i=1,2,\cdots ,n).} Assim, os vetores coluna de P são autovetores à direita de A, e a entrada diagonal correspondente correspondente é o autovalor associado. A invertibilidade de P também sugere que os autovetores são linearmente independentes e formam uma base de Fn. Esta é a condição necessária e suficiente para a diagonabilidade e a abordagem canônica para a diagonalização. Os vetores linha de P−1 são os autovetores à esquerda de A.

Um conjunto de matrizes é dito ser simultaneamente diagonalizável se existe uma única matriz invertível P tal que P−1AP seja uma matriz diagonal para cada A no conjunto. O seguinte teorema caracteriza as matrizes simultaneamente diagonalizáveis: Um conjunto de matrizes diagonalizáveis comutam se, e somente se, o conjunto é simultaneamente diagonalizável. O conjunto de todas a matrizes n×n diagonalizáveis (sobre C), com n > 1 não é simultaneamente diagonalizável. Por exemplo, as matrizes [ 1 0 0 0 ] e [ 1 1 0 0 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\end{bmatrix}}\quad {\text{e}}\quad {\begin{bmatrix}1&1\\0&0\end{bmatrix}}} são diagonalizável, mas não simultaneamente diagonalizáveis porque elas não comutam. Um conjunto é composto de matrizes normais que comutam se, e somente se, ele é simultaneamente diagonalizável por uma matriz unitária; isto é, existe uma matriz unitária U tal que U*AU é diagonal para cada A no conjunto.

A diagonalização pode ser usada para calcular as potências de uma matriz A de forma eficiente, desde que a matriz seja diagonalizável. Suponha que tenha sido encontrado que P − 1 A P = D ⇒ P P − 1 A P P − 1 = P D P − 1 ⇒ A = P D P − 1 {\displaystyle P^{-1}AP=D\Rightarrow PP^{-1}APP^{-1}=PDP^{-1}\Rightarrow A=PDP^{-1}} em que D {\displaystyle D} é uma matriz diagonal. Então, como o produto matricial é associativo, A k = ( P D P − 1 ) k = ( P D P − 1 ) ⋅ ( P D P − 1 ) ⋯ ( P D P − 1 ) = P D ( P − 1 P ) D ( P − 1 P ) ⋯ ( P − 1 P ) D P − 1 = P D k P − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}A^{k}&=\left(PDP^{-1}\right)^{k}=\left(PDP^{-1}\right)\cdot \left(PDP^{-1}\right)\cdots \left(PDP^{-1}\right)\\&=PD\left(P^{-1}P\right)D\left(P^{-1}P\right)\cdots \left(P^{-1}P\right)DP^{-1}\\&=PD^{k}P^{-1}\end{aligned}}} e esta última expresso é fácil de calcular, pois envolve apenas as potências de uma matriz diagonal. Esta abordagem pode ser generalizada para a exponencial matricial e outras funções matriciais que podem ser definidas como séries de potências.

Nos cálculos da mecânica quântica e da química quântica a diagonalização de matrizes é um dos processos numéricos aplicados mais frequentemente. O motivo básico é que a equação de Schrödinger independente do tempo é uma equação de autovalores, embora na maioria das situações físicas em um espaço de dimensão infinita (um espaço de Hilbert). Uma forma aproximada muito comum é obtida truncando o espaço de Hilbert para uma dimensão finita, depois do que a equação de Schrödinger pode ser formulada como um problema de autovalores de uma matriz real simétrica, ou Hermitiana complexa. Formalmente, esta aproximação é baseada no princípio variacional, válido para Hamiltonianos que são limitados inferiormente. A teoria de perturbações de primeira ordem também levam a problemas de autovalores de matrizes para estados degenerados.