Autovalores e autovetores
Em álgebra linear, um escalar λ diz-se um valor próprio, autovalor ou valor característico de um operador linear se existir um vetor x diferente de zero tal que . O vetor x é chamado vetor próprio, autovetor ou vetor característico.
Os autovalores são frequentemente introduzidos no contexto da álgebra linear ou da teoria das matrizes. Historicamente, no entanto, eles surgiram no estudo de formas quadráticas e equações diferenciais. No século XVIII, Leonhard Euler estudou o movimento rotacional de um corpo rígido, e descobriu a importância dos eixos principais.[a] Joseph-Louis Lagrange percebeu que os eixos principais são os autovetores da matriz de inércia. No início do século XIX, Augustin-Louis Cauchy viu como seu trabalho poderia ser usado para classificar as superfícies quádricas, e generalizou-o para dimensões arbitrárias. Cauchy também cunhou o termo racine caractéristique (raiz característica), para o que agora é chamado de autovalor; seu termo sobrevive na equação característica.[b] Mais tarde, Joseph Fourier usou o trabalho de Lagrange e Pierre-Simon Laplace para resolver a equação do calor por separação de variáveis em seu famoso livro de 1822, Théorie analytique de la chaleur. Charles-François Sturm desenvolveu ainda mais as ideias de Fourier e chamou a atenção de Cauchy, que as combinou com suas próprias ideias e chegou ao fato de que matrizes simétricas reais têm autovalores reais. Isso foi estendido por Charles Hermite em 1855 para o que hoje é chamado de matrizes hermitianas.
Se T é uma transformação linear de um espaço vetorial V sobre um corpo F em si mesmo e v é um vetor diferente de zero em V, então v é um autovetor de T se T(v) é um múltiplo escalar de v. Isso pode ser escrito como T ( v ) = λ v , {\displaystyle T(\mathbf {v} )=\lambda \mathbf {v} ,} onde λ é um escalar em F, conhecido como autovalor, valor característico, ou raiz característica associada a v. Existe uma correspondência direta entre matrizes quadradas n-por-n e transformações lineares de um espaço vetorial n-dimensional para si mesmo, dada qualquer base do espaço vetorial. Portanto, em um espaço vetorial de dimensão finita, é equivalente a definir autovalores e autovetores usando a linguagem de matrizes, ou a linguagem de transformações lineares. Se V é de dimensão finita, a equação acima é equivalente a A u = λ u . {\displaystyle A\mathbf {u} =\lambda \mathbf {u} .} onde A é a representação matricial de T e u é o vetor de coordenadas de v.
Autovalores e autovetores são frequentemente apresentados aos alunos no contexto de cursos de álgebra linear focados em matrizes. Além disso, transformações lineares em um espaço vetorial de dimensão finita podem ser representadas usando matrizes, o que é especialmente comum em aplicações numéricas e computacionais. Considere vetores n-dimensionais que são formados como uma lista de n escalares, como os vetores tridimensionais. x = [ 1 − 3 4 ] e y = [ − 20 60 − 80 ] . {\displaystyle \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}1\\-3\\4\end{bmatrix}}\quad {\mbox{e}}\quad \mathbf {y} ={\begin{bmatrix}-20\\60\\-80\end{bmatrix}}.} Esses vetores são ditos múltiplos escalares um do outro, ou paralelos ou colineares, se existe um escalar λ tal que x = λ y . {\displaystyle \mathbf {x} =\lambda \mathbf {y} .} Nesse caso λ = − 1 20 {\displaystyle \lambda =-{\frac {1}{20}}} . Agora considere a transformação linear de vetores n-dimensionais definidos por uma matriz A n-por-n, A v = w , {\displaystyle A\mathbf {v} =\mathbf {w} ,}
Autovalores e o polinômio característico
A equação (2) tem solução v diferente de zero se e somente se o determinante da matriz (A − λI) for zero. Portanto, os autovalores de A são valores de λ que satisfazem a equação Usando a fórmula de Leibniz para determinantes, o lado esquerdo da Equação (3) é uma função polinomial da variável λ e o grau deste polinômio é n, a ordem da matriz A. Seus coeficientes dependem das entradas de A, exceto que seu termo de grau n é sempre (−1)nλn. Este polinômio é chamado de polinômio característico de A. A equação (3) é chamada de equação característica ou equação secular de A. O teorema fundamental da álgebra implica que o polinômio característico de uma matriz A n-por-n, sendo um polinômio de grau n, pode ser fatorado no produto de n termos lineares,
Geometricamente, a equação do valor próprio (autovalor) A x = λ x {\displaystyle A\mathbf {x} =\lambda \mathbf {x} } implica que numa transformação A, autovetores sofrem apenas mudança na sua magnitude e sinal — a direção de Ax é a mesma direção de x. O autovalor λ indica apenas o quanto o vetor irá "encolher" ou "esticar" ao sofrer a transformação A. Se λ = 1, o vetor permanece inalterado (não é afetado pela transformação). Se λ = −1 o vetor passa a ter apenas o sentido oposto e a transformação é chamada reflexão. A transformação I sob a qual um vetor x permanece inalterado, Ix = x é definida como transformação identidade. Para uma matriz hermitiana, a norma ao quadrado do componente j-ésima de um autovetor normalizado pode ser calculada usando apenas os autovalores da matriz e os autovalores da matriz menor correspondente, | v i , j | 2 = ∏ k ( λ i − λ k ( M j ) ) ∏ k ≠ i ( λ i − λ k ) , {\displaystyle |v_{i,j}|^{2}={\frac {\prod _{k}{(\lambda _{i}-\lambda _{k}(M_{j}))}}{\prod _{k\neq i}{(\lambda _{i}-\lambda _{k})}}},} Onde M j {\textstyle M_{j}} é a submatriz formada pela remoção da j-ésima linha e coluna da matriz original. Essa identidade também se estende a matrizes diagonalizáveis e foi redescoberta muitas vezes na literatura.
Multiplicidade algébrica
Seja λi um autovalor de uma matriz A n-por-n. A multiplicidade algébrica μA(λi) do autovalor é sua multiplicidade como raiz do polinômio característico, ou seja, o maior inteiro k tal que (λ − λi)k divide igualmente esse polinômio. Suponha que uma matriz A tenha dimensão n e d ≤ n autovalores distintos. Considerando que a Equação (4) fatora o polinômio característico de A no produto de n termos lineares com alguns termos potencialmente repetidos, o polinômio característico pode, em vez disso, ser escrito como o produto de d termos, cada um correspondendo a um autovalor distinto e elevado à potência do multiplicidade algébrica, | A − λ I | = ( λ 1 − λ ) μ A ( λ 1 ) ( λ 2 − λ ) μ A ( λ 2 ) ⋯ ( λ d − λ ) μ A ( λ d ) . {\displaystyle |A-\lambda I|=(\lambda _{1}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{1})}(\lambda _{2}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{2})}\cdots (\lambda _{d}-\lambda )^{\mu _{A}(\lambda _{d})}.}
Autoespaços, multiplicidade geométrica e autobase para matrizes
Dado um autovalor particular λ da matriz A n por n, defina o conjunto E como sendo todos os vetores v que satisfazem a Equação (2), E = { v : ( A − λ I ) v = 0 } . {\displaystyle E=\left\{\mathbf {v} :\left(A-\lambda I\right)\mathbf {v} =\mathbf {0} \right\}.} Por um lado, esse conjunto é justamente o núcleo ou espaço nulo da matriz (A − λI). Por outro lado, por definição, qualquer vetor diferente de zero que satisfaça esta condição é um autovetor de A associado a λ. Assim, o conjunto E é a união do vetor nulo com o conjunto de todos os autovetores de A associados a λ, e E é igual ao espaço nulo de (A − λI). E é chamado de autoespaço ou espaço característico de A associado a λ. Em geral λ é um número complexo e os autovetores são matrizes n por 1 complexas. Uma propriedade do espaço nulo é que ele é um subespaço linear, então E é um subespaço linear de C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} .
Propriedades adicionais de autovalores
Deixar A {\displaystyle A} ser um arbitrário n × n {\displaystyle n\times n} matriz de números complexos com autovalores λ 1 , … , λ n {\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}} . Cada autovalor aparece μ A ( λ i ) {\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})} vezes nesta lista, onde μ A ( λ i ) {\displaystyle \mu _{A}(\lambda _{i})} é a multiplicidade algébrica do autovalor. A seguir estão as propriedades desta matriz e seus autovalores:
Autovetores esquerdo e direito
Muitas disciplinas tradicionalmente representam vetores como matrizes com uma única coluna em vez de matrizes com uma única linha. Por essa razão, a palavra "autovetor" no contexto de matrizes quase sempre se refere a um autovetor à direita, ou seja, um vetor coluna que multiplica à direita o n × n {\displaystyle n\times n} matriz A {\displaystyle A} na equação definidora, Equação (1), A v = λ v . {\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} .} O problema de autovalor e autovetor também pode ser definido para vetores de linha que deixaram a matriz de multiplicação A {\displaystyle A} . Nesta formulação, a equação definidora é u A = κ u , {\displaystyle \mathbf {u} A=\kappa \mathbf {u} ,}
Diagonalização e autodecomposição
Suponha que os autovetores de A formem uma base, ou equivalentemente A tem n autovetores linearmente independentes v1, v2, ..., vn com autovalores associados λ1, λ2, ..., λn. Os autovalores não precisam ser distintos. Defina uma matriz quadrada Q cujas colunas são os n autovetores linearmente independentes de A, Como cada coluna de Q é um autovetor de A, a multiplicação à direita de A por Q escala cada coluna de Q por seu autovalor associado, Com isso em mente, defina uma matriz diagonal Λ onde cada elemento diagonal Λii é o autovalor associado à i-ésima coluna de Q. Então Como as colunas de Q são linearmente independentes, Q é invertível. Multiplicando à direita ambos os lados da equação por Q−1,
Exemplos de matrizes
Considere a matriz A = [ 2 1 1 2 ] . {\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}.} A figura à direita mostra o efeito desta transformação nas coordenadas do ponto no plano. Os autovetores v desta transformação satisfazem a Equação (1), e os valores de λ para os quais o determinante da matriz (A − λI) é igual a zero são os autovalores. Tomando o determinante para encontrar o polinômio característico de A, | A − λ I | = | [ 2 1 1 2 ] − λ [ 1 0 0 1 ] | = | 2 − λ 1 1 2 − λ | = 3 − 4 λ + λ 2 = ( λ − 3 ) ( λ − 1 ) . {\displaystyle {\begin{aligned}|A-\lambda I|&=\left|{\begin{bmatrix}2&1\\1&2\end{bmatrix}}-\lambda {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\right|={\begin{vmatrix}2-\lambda &1\\1&2-\lambda \end{vmatrix}}\\[6pt]&=3-4\lambda +\lambda ^{2}\\[6pt]&=(\lambda -3)(\lambda -1).\end{aligned}}}
