Autovetor generalizado
Em álgebra linear, um autovetor generalizado de uma matriz quadrada de ordem n é um vetor de ordem n que satisfaz certos critérios que são mais fracos que aqueles de um autovetor ordinário.
Existem diversas formas equivalentes de definir um autovetor ordinário. Para nossos propósito aqui, um autovetor u {\displaystyle \mathbf {u} } associado com um autovalor λ {\displaystyle \lambda } de uma matriz A {\displaystyle A} de ordem n {\displaystyle n} × n {\displaystyle n} é um vetor não nulo para o qual ( A − λ I ) u = 0 {\displaystyle (A-\lambda I)\mathbf {u} =\mathbf {0} } , sendo I {\displaystyle I} a matriz identidade n {\displaystyle n} × n {\displaystyle n} e 0 {\displaystyle \mathbf {0} } o vetor nulo de ordem n {\displaystyle n} . Isto é, u {\displaystyle \mathbf {u} } é o núcleo da transformação linear ( A − λ I ) {\displaystyle (A-\lambda I)} . Se A {\displaystyle A} tem n {\displaystyle n} autovetores linearmente independentes, então A {\displaystyle A} é similar a uma matriz diagonal D {\displaystyle D} . Isto é, existe uma matriz inversível M {\displaystyle M} tal que A {\displaystyle A} é diagonalizável através da transformação similar D = M − 1 A M {\displaystyle D=M^{-1}AM} . A matriz D {\displaystyle D} é denominada matriz espectral de A {\displaystyle A} . A matriz M {\displaystyle M} é denominada matriz modal de A {\displaystyle A} . Matrizes diagonalizáveis são de particular interesse, por funções matriciais poderem ser facilmente computadas.
Aqui estão alguns exemplos para ilustrar o conceito de autovetores generalizados. Alguns dos detalhes são descritos depois.
Exemplo 1
Este exemplo é simples mas ilustra claramente o problema. Este tipo de matriz é usado frequentemente em livros-texto. Então existe apenas um autovalor, λ = 1 {\displaystyle \lambda =1} , sendo sua multiplicidade algébrica m = 2. Note que esta matriz está na forma normal de Jordan, mas não é diagonal. Portanto, esta matriz não é diagonalizável. Como há uma superdiagonal, existe um autovetor generalizado de ordem maior que 1 (ou pode-se notar que o espaço vetorial V {\displaystyle V} é de dimensão 2, devendo assim existir no mínimo um autovetor generalizado de grau maior que 1). Alternativamente, pode ser computada a dimensão do núcleo (espaço nulo) de A − λ I {\displaystyle A-\lambda I} como sendo p = 1, e assim existem m – p = 1 autovetores generalizados de grau maior que 1.
Exemplo 2
Este exemplo é mais elaborado que o Exemplo 1. Infelizmente é dificultoso elaborar um exemplo interessante de baixa ordem. A matriz tem autovalores λ 1 = 1 {\displaystyle \lambda _{1}=1} e λ 2 = 2 {\displaystyle \lambda _{2}=2} com multiplicidades algébricas μ 1 = 2 {\displaystyle \mu _{1}=2} e μ 2 = 3 {\displaystyle \mu _{2}=3} , mas multiplicidades geométricas γ 1 = 1 {\displaystyle \gamma _{1}=1} e γ 2 = 1 {\displaystyle \gamma _{2}=1} . Os autoespaços generalizados de A {\displaystyle A} são calculados abaixo. x 1 {\displaystyle \mathbf {x} _{1}} é o autovetor ordinário associado com λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} . x 2 {\displaystyle \mathbf {x} _{2}} é um autovetor generalizado associado com λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} . y 1 {\displaystyle \mathbf {y} _{1}} é o autovetor ordinário associado com λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} . y 2 {\displaystyle \mathbf {y} _{2}} e y 3 {\displaystyle \mathbf {y} _{3}} são autovetores generalizados associados com λ 2 {\displaystyle \lambda _{2}} .
Definição: Seja x m {\displaystyle \mathbf {x} _{m}} um autovetor generalizado de grau m correspondente à matriz A {\displaystyle A} e o autovalor λ {\displaystyle \lambda } . A cadeia gerada por x m {\displaystyle \mathbf {x} _{m}} é um conjunto de vetores { x m , x m − 1 , … , x 1 } {\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{m},\mathbf {x} _{m-1},\dots ,\mathbf {x} _{1}\right\}} dado por x m − 1 = ( A − λ I ) x m , {\displaystyle \mathbf {x} _{m-1}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m},} x m − 2 = ( A − λ I ) 2 x m = ( A − λ I ) x m − 1 , {\displaystyle \mathbf {x} _{m-2}=(A-\lambda I)^{2}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-1},} x m − 3 = ( A − λ I ) 3 x m = ( A − λ I ) x m − 2 , {\displaystyle \mathbf {x} _{m-3}=(A-\lambda I)^{3}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{m-2},} x 1 = ( A − λ I ) m − 1 x m = ( A − λ I ) x 2 . {\displaystyle \mathbf {x} _{1}=(A-\lambda I)^{m-1}\mathbf {x} _{m}=(A-\lambda I)\mathbf {x} _{2}.}
Definição: Um conjunto de n autovetores generalizados linearmente independentes é uma base canônica se for composto inteiramente de cadeias de Jordan. Então, uma vez determinado que um autovetor generalizado de posto m é uma base canônica, segue que os m-1 vetores x m − 1 , x m − 2 , … , x 1 {\displaystyle \mathbf {x} _{m-1},\mathbf {x} _{m-2},\ldots ,\mathbf {x} _{1}} que estão na cadeia de Jordan, gerados por x m {\displaystyle \mathbf {x} _{m}} . também estão em base canônica. Dado λ i {\displaystyle \lambda _{i}} um autovalor de A {\displaystyle A} de multiplicidade algébrica Primeiro, determine os postos das matrizes ( A − λ i I ) , ( A − λ i I ) 2 , … , ( A − λ i I ) m i {\displaystyle (A-\lambda _{i}I),(A-\lambda _{i}I)^{2},\ldots ,(A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}} . O inteiro m i {\displaystyle m_{i}} é definido como o primeiro inteiro para o qual ( A − λ i I ) m i {\displaystyle (A-\lambda _{i}I)^{m_{i}}} possui posto n − μ i {\displaystyle n-\mu _{i}} (n sendo o número de linhas e colunas de A {\displaystyle A} , isto é, A {\displaystyle A} é n × n).
Nas seções precedentes vimos técnicas para obter n autovetores generalizados linearmente independentes de uma base canônica para o espaço vetorial V {\displaystyle V} associado com uma matriz n × n A {\displaystyle A} . Estas técnicas podem ser combinadas em um procedimento:
Exemplo 3
tem um autovalor λ 1 = 5 {\displaystyle \lambda _{1}=5} de multiplicidade algébrica μ 1 = 3 {\displaystyle \mu _{1}=3} e um autovalor λ 2 = 4 {\displaystyle \lambda _{2}=4} de multiplicidade algébrica μ 2 = 1 {\displaystyle \mu _{2}=1} . Temos n = 4. Para λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} temos n − μ 1 = 4 − 3 = 1 {\displaystyle n-\mu _{1}=4-3=1} . O primeiro inteiro m 1 {\displaystyle m_{1}} para o qual ( A − 5 I ) m 1 {\displaystyle (A-5I)^{m_{1}}} tem posto n − μ 1 = 1 {\displaystyle n-\mu _{1}=1} é m 1 = 3 {\displaystyle m_{1}=3} . Consequentemente, existem três autovetores generalizados linearmente independentes; cada qual de postos 3, 2 a 1. Como λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} corresponde a uma simples cadeia de três autovetores generalizados linearmente independentes, sabemos que existe um autovetor generalizado x 3 {\displaystyle \mathbf {x} _{3}} de posto 3 correspondente a λ 1 {\displaystyle \lambda _{1}} tal que
Seja A {\displaystyle A} uma matriz n × n. Uma matriz modal generalizada M {\displaystyle M} para A {\displaystyle A} é uma matriz n × n cujas colunas, consideradas como vetores, forma uma base canônica para A {\displaystyle A} e aparece em M {\displaystyle M} de acordo com as seguintes regras:
Seja V {\displaystyle V} um espaço vetorial n-dimensional; seja ϕ {\displaystyle \phi } um mapeamento linear em L(V), o conjunto de todos os mapeamentos lineares de V {\displaystyle V} nele mesmo; e seja A {\displaystyle A} a representação matricial de ϕ {\displaystyle \phi } em relação a alguma base ordenada. Pode ser mostrado que se o polinômio característico f ( λ ) {\displaystyle f(\lambda )} de A {\displaystyle A} é fatorado em fatores lineares, tal que f ( λ ) {\displaystyle f(\lambda )} tem a forma onde λ 1 , λ 2 , … , λ r {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}} são os distintos autovalores de A {\displaystyle A} , então cada μ i {\displaystyle \mu _{i}} é a multiplicidade algébrica de seu correspondente autovalor λ i {\displaystyle \lambda _{i}} e A {\displaystyle A} é similar a uma matriz J {\displaystyle J} na forma canônica de Jordan, onde cada λ i {\displaystyle \lambda _{i}} aparece μ i {\displaystyle \mu _{i}} vezes consecutivas na diagonal principal, e cada componente acima de cada λ i {\displaystyle \lambda _{i}} (isto é, na superdiagonal) tem valor 0 ou 1; o elemento acima da primeira ocorrência de cada λ i {\displaystyle \lambda _{i}} é sempre 0. Todos os outros elementos são zero. Se A {\displaystyle A} é diagonalizável, então todos os elementos acima da diagonal são zero. Note que alguns livros-texto tem os uns na subdiagonal, isto é, imediatamente abaixo da diagonal principal ao invés de na superdiagonal. Os autovalores estão ainda na diagonal principal.
Exemplo 4
Determinar a matriz na forma canônica de Jordan que é similar a Solução: A equação característica de A {\displaystyle A} é ( λ − 2 ) 3 = 0 {\displaystyle (\lambda -2)^{3}=0} , e então λ = 2 {\displaystyle \lambda =2} é um autovalor de multiplicidade algébrica três. Seguindo o procedimento das seções precedentes temos Assim, ρ 2 = 1 {\displaystyle \rho _{2}=1} e ρ 1 = 2 {\displaystyle \rho _{1}=2} , que implica que a base canônica para A {\displaystyle A} contém um autovetor generalizado linearmente independente de posto 2 e dois autovetores generalizados linearmente independentes de posto 1, ou equivalentemente, uma cadeia de dois vetores { x 2 , x 1 } {\displaystyle \left\{\mathbf {x} _{2},\mathbf {x} _{1}\right\}} e uma cadeia de um vetor { y 1 } {\displaystyle \left\{\mathbf {y} _{1}\right\}} . Designando M = ( y 1 x 1 x 2 ) {\displaystyle M={\begin{pmatrix}\mathbf {y} _{1}&\mathbf {x} _{1}&\mathbf {x} _{2}\end{pmatrix}}} , temos
Exemplo 5
No Exemplo 3 encontramos uma base canônica de autovetores generalizados linearmente independentes para uma matriz A {\displaystyle A} . Uma matriz modal generalizada para A {\displaystyle A} é Uma matriz na forma canônica de Jordan, similar a A {\displaystyle A} é tal que A M = M J {\displaystyle AM=MJ} .
Funções matriciais
Três das mais fundamentais operações que podem ser aplicadas sobre matrizes quadradas são adição, multiplicação por um escalar e multiplicação de matrizes. Estas são exatamente as operações necessárias para definir uma função polinomial de uma matriz n × n A {\displaystyle A} . Relembrando do cálculo básico que muitas funções podem ser expressas em uma série de Taylor, podemos definir de forma mais geral funções matriciais de forma mais simples. Se A {\displaystyle A} é diagonalizável, isto é e a determinação da série de Taylor para funções de A {\displaystyle A} é significativamente simplificada. Por exemplo, para obter qualquer potência k de A {\displaystyle A} , basta calcular D k {\displaystyle D^{k}} , premultiplicar D k {\displaystyle D^{k}} por M {\displaystyle M} , e posmultiplicar o resultado por M − 1 {\displaystyle M^{-1}} .
Equações diferenciais
Considere o problema de resolver o sistema linear de equações diferencias ordinárias Se a matriz A {\displaystyle A} é uma matriz diagonal tal que a i j = 0 {\displaystyle a_{ij}=0} para i ≠ j {\displaystyle i\neq j} , então o sistema (5) reduz-se a um sistema de n equações na forma x 1 ′ = a 11 x 1 {\displaystyle x_{1}'=a_{11}x_{1}} x 2 ′ = a 22 x 2 {\displaystyle x_{2}'=a_{22}x_{2}} x n ′ = a n n x n . {\displaystyle x_{n}'=a_{nn}x_{n}.} No caso geral, tenta-se diagonalizar A {\displaystyle A} e reduzir (5) para um sistema (6) como a seguir. Se A {\displaystyle A} é diagonalizável, então tem-se que D = M − 1 A M {\displaystyle D=M^{-1}AM} , onde M {\displaystyle M} é a matriz modal de A {\displaystyle A} . Substituindo a equação A = M D M − 1 {\displaystyle A=MDM^{-1}} , (5) toma a forma M − 1 x ′ = D ( M − 1 x ) {\displaystyle M^{-1}\mathbf {x} '=D(M^{-1}\mathbf {x} )} , ou
