Análise não padronizada

Nesta seção, construiremos o corpo hiper-real ∗ R {\displaystyle ^{*}\!\mathbb {R} } . Seja R {\displaystyle \mathbb {R} } o corpo dos números reais (padrão) e seja N {\displaystyle \mathbb {N} } o semianel dos números naturais. O conjunto R N {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }} de todas as sequências de números reais com operações ponto-a-ponto não forma um corpo, mas obteremos o corpo dos hiperreais ∗ R {\displaystyle ^{*}\!\mathbb {R} } a partir deste conjunto da seguinte forma. Tome um ultrafiltro livre U {\displaystyle {\mathcal {U}}} em N {\displaystyle \mathbb {N} } isto é, U ⊂ 2 N {\displaystyle {\mathcal {U}}\subset 2^{\mathbb {N} }} é tal que Estabelece-se que duas sequências de números reais u ∙ = ( u n ) n ∈ N {\displaystyle u_{\bullet }=(u_{n})_{n\in \mathbb {N} }} e v ∙ = ( v n ) n ∈ N {\displaystyle v_{\bullet }=(v_{n})_{n\in \mathbb {N} }} são equivalentes, u ∙ ≏ v ∙ {\displaystyle u_{\bullet }\bumpeq v_{\bullet }} , se existe um membro U {\displaystyle U} do ultrafiltro em que as sequências coincidam: u ∙ ( U ) = v ∙ ( U ) {\displaystyle u_{\bullet }(U)=v_{\bullet }(U)} . Isto equivale a dizer que o conjunto de indices em que elas são iguais está no ultrafiltro, [ u ∙ = v ∙ ] = { n ∈ N | u n = v n } ∈ U {\displaystyle [u_{\bullet }=v_{\bullet }]=\left\{n\in \mathbb {N} \vert u_{n}=v_{n}\right\}\in {\mathcal {U}}} . A relação ≏ {\displaystyle \bumpeq } é de fato de equivalência; a transitividade se deve ao axioma 2 de ultrafiltro e à inclusão [ u ∙ = w ∙ ] ⊃ [ u ∙ = v ∙ ] ∩ [ u ∙ = v ∙ ] {\textstyle [u_{\bullet }=w_{\bullet }]\supset [u_{\bullet }=v_{\bullet }]\cap [u_{\bullet }=v_{\bullet }]} . Assim, definem-se os números reais não-padrão ou números hiperreais como ∗ R = R N / ≏ {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} =\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\!\bumpeq } , isto é, quocientando o conjunto das sequências pela relação de coincidirem em um membro do ultrafitro. Chama-se a esta construção feita de construção por ultrapotências ( ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } é o ultraproduto de uma cópia de R {\displaystyle \mathbb {R} } para cada número natural com respeito a um ultrafiltro dos naturais que contém todos os conjuntos cofinitos). Definem-se as operações em ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } por meio das operações ponto-a-ponto nos representantes. Denotando a classe de uma sequência u ∙ {\displaystyle u_{\bullet }} em ∗ R {\displaystyle ^{*}\mathbb {R} } como [ u ∙ ] {\displaystyle [u_{\bullet }]} , põe-se: