Conjugado transposto

O conjugado complexo de uma matriz A {\displaystyle \mathbf {A} } m × n {\displaystyle m\times n} é formalmente definido como onde o subescrito i j {\displaystyle ij} denota o ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} -ésimo elemento de 1 ≤ i ≤ n {\displaystyle 1\leq i\leq n} and 1 ≤ j ≤ m {\displaystyle 1\leq j\leq m} , e a barra superior denota o escalar do complexo conjugado. Sem perda de generalidade, essa definição também pode ser escrita como onde A T {\displaystyle \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }} denota a transposta e A ¯ {\displaystyle {\overline {\mathbf {A} }}} denota a matriz com elementos conjugados complexos. Outros nomes associados ao transposto conjugado de uma matriz são “conjugado Hermitiano”, “matriz adjunta” e “transjugado”. O transposto conjugado de uma matriz A {\displaystyle \mathbf {A} } pode ser denotado por qualquer um destes símbolos: Em certos contextos, A ∗ {\displaystyle \mathbf {A} ^{*}} pode denotar a matriz apenas com elementos conjugados complexos, sem a transposição.

Suponha que você deseje calcular a conjugada transposta de seguinte matriz A {\displaystyle \mathbf {A} } . Primeiro, realiza-se a transposição da matriz: Em seguida, conjuga-se cada elemento da matriz:

Uma matriz quadrada (ou seja, necessariamente n × n {\displaystyle n\times n} ) A {\displaystyle \mathbf {A} } com elementos a i j {\displaystyle a_{ij}} é dita Mesmo que A {\displaystyle \mathbf {A} } não seja quadrada, ambas as matrizes A H A {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }\mathbf {A} } e A A H {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }} são Hermitianas e semi-definidas positivas. A matriz conjugada transposta “adjunta” A H {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }} não deve ser confundida com a matriz adjunta adj ⁡ ( A ) {\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )} , que é também chamada frequentemente apenas de “adjunta”. O transposto conjugado de uma matriz A {\displaystyle \mathbf {A} } com elementos reais reduz-se para a transposta de A {\displaystyle \mathbf {A} } , já que o conjugado de um número real é o próprio número.

A conjugada transposta pode ser motivada ao notar que números complexos podem ser representados na forma matricial por uma matriz real 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} , e, portanto, obedecem as propriedades matriciais de soma e multiplicação. Ou seja, representando cada número complexo z {\displaystyle z} pela matriz real 2 × 2 {\displaystyle 2\times 2} da transformação linear no plano complexo (visto como o espaço vetor “real” R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} ), afetado pela multiplicação complexa de “ z {\displaystyle z} ” em C {\displaystyle \mathbb {C} } . Dessa forma, uma matriz de números complexos m × n {\displaystyle m\times n} pode ser bem representada por uma matriz de números reais 2 m × 2 n {\displaystyle 2m\times 2n} . A conjugada transposta, portanto, surge naturalmente como o resultado de transpor tal matriz—quando interpretado novamente como uma matriz n × m {\displaystyle n\times m} composta por números complexos.

A última propriedade dada mostra que se tratarmos A {\displaystyle \mathbf {A} } como a transformação linear do espaço de Hilbert C n {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}} para C m , {\displaystyle \mathbb {C} ^{m},} então a matriz A H {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {H} }} corresponde ao Hermitiano adjunto de A {\displaystyle \mathbf {A} } . O conceito de operadores adjuntos entre espaços de Hilbert pode, dessa forma, ser visto como uma generalização dos conjugados transpostos de matrizes em relação à uma base ortonormal. Outra generalização também é possível: suponha que A {\displaystyle A} seja um mapa linear the um espaço vetorial complexo V {\displaystyle V} para um outro, W {\displaystyle W} , então a transformação linear do complexo conjugado assim como a transformação linear transposta são definidas, e portanto é possível afirmar que o conjugado transposto de A {\displaystyle A} é o conjugado complexo da transposta de A {\displaystyle A} . Ou seja, ele transforma o conjugado dual de W {\displaystyle W} ao conjugado dual de V {\displaystyle V}