Regra de Cramer

Sejam os vetores x → = ( x 1 ⋮ x n ) {\displaystyle {\vec {x}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}} e b → = ( b 1 ⋮ b n ) {\displaystyle {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{n}\end{pmatrix}}} e a matriz A = [ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&\cdots &a_{nn}\end{bmatrix}}} . Seja ainda a matriz A j {\displaystyle A_{j}} , obtida pela substituição da coluna j {\displaystyle j} pelo vetor b → {\displaystyle {\vec {b}}} , tal que Usando as propriedades da multiplicação de matrizes: A x → = b → ⇔ A − 1 A x → = A − 1 b → ⇔ I x → = A − 1 b → ⇔ x → = A − 1 b → {\displaystyle A{\vec {x}}={\vec {b}}\Leftrightarrow A^{-1}A{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}\Leftrightarrow I{\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}\Leftrightarrow {\vec {x}}=A^{-1}{\vec {b}}} (1) Recordando a definição de determinante, o somatório definido acumula a multiplicação do elemento adjunto o cofator da posição ij, com o elemento i-ésimo do vetor B (que é precisamente o elemento i-ésimo da coluna j, na matriz A j {\displaystyle A_{j}}

Um bom exemplo é a resolução de um simples sistema de equações 2x2: x e y podem ser calculados usando a regra de Cramer