Cobordismo
Em matemática, o cobordismo é uma relação de equivalência crucial que conecta variedades compactas da mesma dimensão. Ele é definido pelo conceito de fronteira de uma variedade: duas variedades de mesma dimensão são consideradas cobordantes se a união disjunta delas forma a fronteira de uma variedade compacta de uma dimensão superior. Essa ideia é fundamental para entender as propriedades e classificações das variedades.
Pontos-chave
- Cobordismo é uma relação de equivalência para variedades compactas da mesma dimensão.
- Duas variedades são cobordantes se sua união disjunta é a fronteira de uma variedade de dimensão superior.
- A teoria de Morse e as funções de Morse são intrinsecamente ligadas ao cobordismo, especialmente na construção de alças.
- O cobordismo tem raízes históricas na tentativa de Poincaré de definir homologia e foi formalizado por Pontryagin.
- É uma teoria de cohomologia extraordinária e desempenhou um papel vital no desenvolvimento da topologia.
Para entender o cobordismo, é essencial compreender o que são variedades, especialmente aquelas com e sem fronteira, e como elas se relacionam para formar um cobordismo.
O que são Variedades?
De forma simplificada, uma variedade n-dimensional (M) é um espaço topológico que, localmente (próximo a cada ponto), se parece com um subconjunto aberto do espaço euclidiano (R^n). Uma variedade com fronteira é similar, mas alguns pontos podem ter uma vizinhança que se assemelha a um subconjunto aberto do meio-espaço euclidiano (onde uma das coordenadas é não-negativa). Os pontos que não possuem uma vizinhança que se pareça com um subconjunto aberto do espaço euclidiano são chamados de pontos de fronteira de M, e a fronteira é denotada por ∂M. Uma variedade fechada, por definição, é um espaço compacto que não possui fronteira (∂M = ∅).
As funções de Morse são ferramentas poderosas que conectam a geometria diferencial com a topologia, permitindo a construção e compreensão de cobordismos através de operações de cirurgia e anexação de alças.
Geometria, Teoria de Morse e Alças
Considere uma função de Morse 'f' em uma variedade (n+1)-dimensional. Se 'c' é um valor crítico com um único ponto crítico em sua pré-imagem e o índice desse ponto crítico é 'p+1', então o nível N (definido como f⁻¹(c + ε)) é obtido de M (f⁻¹(c - ε)) por uma 'cirurgia p'. O conjunto W = f⁻¹([c - ε, c + ε]) define um cobordismo (W; M, N) que pode ser visto como o 'traço' dessa cirurgia. Dada uma função suave 'f' em um cobordismo (W; M, N) onde f⁻¹(0) = M e f⁻¹(1) = N, podemos assumir que 'f' é uma função de Morse e que todos os pontos críticos estão no interior de W. Nesse cenário, o cobordismo (W; M, N) é uma união dos traços de uma sequência de cirurgias em M, uma para cada ponto crítico de 'f'. A variedade W é construída a partir de M × [0, 1] anexando uma 'alça' para cada ponto crítico de 'f'. O teorema de Morse/Smale estabelece que, para uma função de Morse em um cobordismo, as linhas de fluxo de f' geram uma apresentação de alça para o trio (W; M, N). Reciprocamente, uma decomposição de um cobordismo em alças pode ser derivada de uma função de Morse apropriada, estabelecendo uma correspondência entre decomposições de alças e funções de Morse em um cobordismo.
O cobordismo tem uma rica história, desde suas origens nas tentativas de Poincaré até sua formalização por Pontryagin e o papel crucial que desempenhou no desenvolvimento da topologia moderna.
Além de ser uma relação de equivalência, os cobordismos também podem ser estudados como objetos em uma categoria, onde variedades fechadas são os objetos e os cobordismos são os morfismos, permitindo a composição e a conexão com teorias de campos quânticos.
A teoria do cobordismo se encaixa no arcabouço das teorias de cohomologia extraordinárias, oferecendo uma perspectiva generalizada para estudar espaços topológicos através de grupos de homologia e cohomologia.
