Sequência de Mayer-Vietoris
Em topologia algébrica e teoria da homologia, a sequência de Mayer-Vietoris é uma ferramenta algébrica que ajuda a calcular invariantes algébricos de espaços topológicos. O resultado deve-se a dois matemáticos austríacos, Walther Mayer e Leopold Vietoris. O método consiste em dividir um espaço em subespaços, para os quais os grupos de homologia ou coomologia podem ser mais fáceis de calcular. A sequência relaciona os grupos de (co)homologia do espaço aos grupos de (co)homologia dos subespaços. Trata-se de uma sequência exata longa e natural, cujas entradas são os grupos de (co)homologia de todo o espaço, a soma direta dos grupos de (co)homologia dos subespaços e os grupos de (co)homologia da interseção dos subespaços.
De forma semelhante ao grupo fundamental ou aos grupos de homotopia superiores de um espaço, os grupos de homologia são importantes invariantes topológicos. Embora algumas teorias de (co)homologia sejam computáveis usando ferramentas de álgebra linear, muitas outras teorias importantes de (co)homologia, especialmente a (co)homologia singular, não são computáveis diretamente de sua definição para espaços não triviais. Para a (co)homologia singular, os grupos de (co)cadeias e (co)ciclos singulares são frequentemente grandes demais para serem manipulados diretamente. Abordagens mais sutis e indiretas tornam-se necessárias. A sequência de Mayer-Vietoris é uma dessas abordagens, fornecendo informações parciais sobre os grupos de (co)homologia de qualquer espaço, relacionando-o aos grupos de (co)homologia de dois de seus subespaços e de sua interseção. Veja Versões básicas para a homologia singular.
Seja X {\displaystyle X} um espaço topológico e sejam A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} dois subespaços cujos interiores cobrem X {\displaystyle X} . (Os interiores de A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} não precisam ser disjuntos.) A sequência de Mayer-Vietoris em homologia singular para a tríade ( X , A , B ) {\displaystyle (X,A,B)} é uma sequência exata longa relacionando os grupos de homologia singular (com o grupo de coeficientes sendo os números inteiros Z {\displaystyle \mathbb {Z} } ) dos espaços X {\displaystyle X} , A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} , e da interseção A ∩ B {\displaystyle A\cap B} . Há uma versão não reduzida e uma reduzida.
Versão não reduzida
Para a homologia não reduzida, a sequência de Mayer-Vietoris afirma que a seguinte sequência é exata: ⋯ → H n + 1 ( X ) → ∂ ∗ H n ( A ∩ B ) → ( i ∗ j ∗ ) H n ( A ) ⊕ H n ( B ) → k ∗ − l ∗ H n ( X ) → ∂ ∗ H n − 1 ( A ∩ B ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow {\left({\begin{smallmatrix}i_{*}\\j_{*}\end{smallmatrix}}\right)} \,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,\xrightarrow {k_{*}-l_{*}} \,H_{n}(X)\,\xrightarrow {\partial _{*}} \,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots } ⋯ → H 0 ( A ) ⊕ H 0 ( B ) → k ∗ − l ∗ H 0 ( X ) → 0. {\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.} Aqui i : A ∩ B ↪ A , j : A ∩ B ↪ B , k : A ↪ X {\displaystyle i:A\cap B\hookrightarrow A,j:A\cap B\hookrightarrow B,k:A\hookrightarrow X} e l : B ↪ X {\displaystyle l:B\hookrightarrow X} são aplicações de inclusão e ⊕ {\displaystyle \oplus } denota a soma direta de grupos abelianos.
Mapa de bordo
Os mapas de bordo ∂ ∗ {\displaystyle \partial _{*}} que diminuem a dimensão podem ser definidos da seguinte forma. Um elemento em H n ( X ) {\displaystyle H_{n}(X)} é a classe de homologia de um n {\displaystyle n} -ciclo x {\displaystyle x} que, por subdivisão baricêntrica por exemplo, pode ser escrito como a soma de duas n {\displaystyle n} -cadeias u {\displaystyle u} e v {\displaystyle v} cujas imagens encontram-se inteiramente em A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} , respectivamente. Desta forma, ∂ x = ∂ ( u + v ) = ∂ u + ∂ v {\displaystyle \partial x=\partial (u+v)=\partial u+\partial v} . Como x {\displaystyle x} é um ciclo, ∂ x = 0 {\displaystyle \partial x=0} , logo ∂ u = − ∂ v {\displaystyle \partial u=-\partial v} . Isso implica que as imagens de ambos esses bordos, que são ( n − 1 ) {\displaystyle (n-1)} -ciclos, estão contidas na interseção A ∩ B {\displaystyle A\cap B} . Então, ∂ ∗ ( [ x ] ) {\displaystyle \partial _{*}([x])} pode ser definido como a classe de ∂ u {\displaystyle \partial u} em H n − 1 ( A ∩ B ) {\displaystyle H_{n-1}(A\cap B)} . Escolher outra decomposição x = u ′ + v ′ {\displaystyle x=u'+v'} não afeta [ ∂ u ] {\displaystyle [\partial u]} , uma vez que ∂ u + ∂ v = ∂ x = ∂ u ′ + ∂ v ′ {\displaystyle \partial u+\partial v=\partial x=\partial u'+\partial v'} , o que implica que ∂ u − ∂ u ′ = ∂ ( v ′ − v ) {\displaystyle \partial u-\partial u'=\partial (v'-v)} , e portanto ∂ u {\displaystyle \partial u} e ∂ u ′ {\displaystyle \partial u'} estão na mesma classe de homologia; nem a escolha de um representante diferente x ′ {\displaystyle x'} afeta, pois nesse caso x ′ − x = ∂ ϕ {\displaystyle x'-x=\partial \phi } para algum ϕ {\displaystyle \phi } em H n + 1 ( X ) {\displaystyle H_{n+1}(X)} . Note que os mapas na sequência de Mayer-Vietoris dependem da escolha de uma ordem para A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} . Em particular, o mapa de bordo muda de sinal se A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} forem trocados.
Versão reduzida
Para a homologia reduzida também existe uma sequência de Mayer-Vietoris, sob a premissa de que A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} possuem interseção não vazia. A sequência é idêntica para dimensões positivas e termina como: ⋯ → H ~ 0 ( A ∩ B ) → ( i ∗ , j ∗ ) H ~ 0 ( A ) ⊕ H ~ 0 ( B ) → k ∗ − l ∗ H ~ 0 ( X ) → 0. {\displaystyle \cdots \to {\tilde {H}}_{0}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,{\tilde {H}}_{0}(A)\oplus {\tilde {H}}_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,{\tilde {H}}_{0}(X)\to 0.}
Analogia com o teorema de Seifert-van Kampen
Há uma analogia entre a sequência de Mayer-Vietoris (especialmente para grupos de homologia de dimensão 1) e o Teorema de Seifert-van Kampen. Sempre que A ∩ B {\displaystyle A\cap B} for conexo por caminhos, a sequência reduzida de Mayer-Vietoris produz o isomorfismo H 1 ( X ) ≅ ( H 1 ( A ) ⊕ H 1 ( B ) ) / ker ( k ∗ − l ∗ ) {\displaystyle H_{1}(X)\cong (H_{1}(A)\oplus H_{1}(B))/\ker(k_{*}-l_{*})} onde, pela exatidão, ker ( k ∗ − l ∗ ) ≅ im ( i ∗ , j ∗ ) . {\displaystyle \ker(k_{*}-l_{*})\cong \operatorname {im} (i_{*},j_{*}).} Isto é precisamente a afirmação abelianizada do teorema de Seifert-van Kampen. Compare com o fato de que H 1 ( X ) {\displaystyle H_{1}(X)} é a abelianização do grupo fundamental π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} quando X {\displaystyle X} é conexo por caminhos.
k-esfera
Para calcular completamente a homologia da esfera de dimensão k {\displaystyle k} ( k {\displaystyle k} -esfera) X = S k {\displaystyle X=S^{k}} , sejam A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} dois hemisférios de X {\displaystyle X} com interseção homotopicamente equivalente a uma esfera equatorial de dimensão ( k − 1 ) {\displaystyle (k-1)} . Como os hemisférios k {\displaystyle k} -dimensionais são homeomorfos a k {\displaystyle k} -discos, que são contráteis, os grupos de homologia de A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} são triviais. A sequência de Mayer-Vietoris para grupos de homologia reduzida fornece, então: ⋯ ⟶ 0 ⟶ H ~ n ( S k ) → ∂ ∗ H ~ n − 1 ( S k − 1 ) ⟶ 0 ⟶ ⋯ {\displaystyle \cdots \longrightarrow 0\longrightarrow {\tilde {H}}_{n}\!\left(S^{k}\right)\,{\xrightarrow {\overset {}{\partial _{*}}}}\,{\tilde {H}}_{n-1}\!\left(S^{k-1}\right)\longrightarrow 0\longrightarrow \cdots }
Garrafa de Klein
Uma aplicação um pouco mais difícil da sequência de Mayer-Vietoris é o cálculo dos grupos de homologia da garrafa de Klein X {\displaystyle X} . Usa-se a decomposição de X {\displaystyle X} como a união de duas faixas de Möbius A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} coladas ao longo do seu círculo de bordo (ver ilustração à direita). Então A {\displaystyle A} , B {\displaystyle B} e sua interseção A ∩ B {\displaystyle A\cap B} são homotopicamente equivalentes a círculos, então a parte não trivial da sequência resulta em 0 → H ~ 2 ( X ) → Z → α Z ⊕ Z → H ~ 1 ( X ) → 0 {\displaystyle 0\rightarrow {\tilde {H}}_{2}(X)\rightarrow \mathbb {Z} \ {\xrightarrow {\overset {}{\alpha }}}\ \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \rightarrow \,{\tilde {H}}_{1}(X)\rightarrow 0} e a parte trivial implica homologia nula para dimensões maiores que 2. O mapa central α {\displaystyle \alpha } envia 1 {\displaystyle 1} para ( 2 , − 2 ) {\displaystyle (2,-2)} uma vez que o círculo de bordo de uma banda de Möbius dá duas voltas ao redor do círculo central. Em particular, α {\displaystyle \alpha } é injetiva, então a homologia de dimensão 2 também se anula. Finalmente, escolhendo ( 1 , 0 ) {\displaystyle (1,0)} e ( 1 , − 1 ) {\displaystyle (1,-1)} como base para Z 2 {\displaystyle \mathbb {Z} _{2}} , segue que: H ~ n ( X ) ≅ δ 1 n ( Z ⊕ Z 2 ) = { Z ⊕ Z 2 se n = 1 , 0 se n ≠ 1. {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}\left(X\right)\cong \delta _{1n}\,(\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} _{2}&{\text{se }}n=1,\\0&{\text{se }}n\neq 1.\end{cases}}}
Somas em cunha
Seja X {\displaystyle X} a soma em cunha de dois espaços K {\displaystyle K} e L {\displaystyle L} , e suponha ainda que o ponto-base identificado seja um retrato por deformação das vizinhanças abertas U ⊂ K {\displaystyle U\subset K} e V ⊂ L {\displaystyle V\subset L} . Sendo A = K ∪ V {\displaystyle A=K\cup V} e B = U ∪ L {\displaystyle B=U\cup L} , segue-se que A ∪ B = X {\displaystyle A\cup B=X} e A ∩ B = U ∪ V {\displaystyle A\cap B=U\cup V} , o qual é contrátil por construção. A versão reduzida da sequência então fornece (pela exatidão) H ~ n ( K ∨ L ) ≅ H ~ n ( K ) ⊕ H ~ n ( L ) {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(K\vee L)\cong {\tilde {H}}_{n}(K)\oplus {\tilde {H}}_{n}(L)} para todas as dimensões n {\displaystyle n} .
Suspensões
Se X {\displaystyle X} é a suspensão S Y {\displaystyle SY} de um espaço Y {\displaystyle Y} , sejam A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} os complementos em X {\displaystyle X} dos 'vértices' superior e inferior do cone duplo, respectivamente. Então X {\displaystyle X} é a união A ∪ B {\displaystyle A\cup B} , sendo A {\displaystyle A} e B {\displaystyle B} contráteis. Além disso, a interseção A ∩ B {\displaystyle A\cap B} é homotopicamente equivalente a Y {\displaystyle Y} . Consequentemente, a sequência de Mayer-Vietoris fornece, para todo n {\displaystyle n} , H ~ n ( S Y ) ≅ H ~ n − 1 ( Y ) . {\displaystyle {\tilde {H}}_{n}(SY)\cong {\tilde {H}}_{n-1}(Y).}
Forma relativa
Existe também uma forma relativa da sequência de Mayer-Vietoris. Se Y ⊂ X {\displaystyle Y\subset X} for a união dos interiores de C ⊂ A {\displaystyle C\subset A} e D ⊂ B {\displaystyle D\subset B} , então a sequência exata é: ⋯ → H n ( A ∩ B , C ∩ D ) → ( i ∗ , j ∗ ) H n ( A , C ) ⊕ H n ( B , D ) → k ∗ − l ∗ H n ( X , Y ) → ∂ ∗ H n − 1 ( A ∩ B , C ∩ D ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H_{n}(A\cap B,C\cap D)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A,C)\oplus H_{n}(B,D)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X,Y)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B,C\cap D)\to \cdots }
Naturalidade
Os grupos de homologia são naturais no sentido de que, se f : X 1 → X 2 {\displaystyle f:X_{1}\to X_{2}} for uma função contínua, então haverá um mapa canônico de pushforward (ou avanço) de grupos de homologia f ∗ : H k ( X 1 ) → H k ( X 2 ) {\displaystyle f_{*}:H_{k}(X_{1})\to H_{k}(X_{2})} tal que a composição de pushforwards é o pushforward de uma composição: isto é, ( g ∘ h ) ∗ = g ∗ ∘ h ∗ . {\displaystyle (g\circ h)_{*}=g_{*}\circ h_{*}.} A sequência de Mayer-Vietoris também é natural no sentido de que se X 1 = A 1 ∪ B 1 X 2 = A 2 ∪ B 2 e f ( A 1 ) ⊂ A 2 f ( B 1 ) ⊂ B 2 , {\displaystyle {\begin{matrix}X_{1}=A_{1}\cup B_{1}\\X_{2}=A_{2}\cup B_{2}\end{matrix}}\qquad {\text{e}}\qquad {\begin{matrix}f(A_{1})\subset A_{2}\\f(B_{1})\subset B_{2}\end{matrix}},} então o morfismo de conexão da sequência de Mayer-Vietoris, ∂ ∗ {\displaystyle \partial _{*}} , comuta com f ∗ {\displaystyle f_{*}} . Isso significa que o seguinte diagrama comuta (os mapas horizontais são os usuais): ⋯ H n + 1 ( X 1 ) ⟶ H n ( A 1 ∩ B 1 ) ⟶ H n ( A 1 ) ⊕ H n ( B 1 ) ⟶ H n ( X 1 ) ⟶ H n − 1 ( A 1 ∩ B 1 ) ⟶ ⋯ f ∗ ↓ f ∗ ↓ f ∗ ↓ f ∗ ↓ f ∗ ↓ ⋯ H n + 1 ( X 2 ) ⟶ H n ( A 2 ∩ B 2 ) ⟶ H n ( A 2 ) ⊕ H n ( B 2 ) ⟶ H n ( X 2 ) ⟶ H n − 1 ( A 2 ∩ B 2 ) ⟶ ⋯ {\displaystyle {\begin{matrix}\cdots &H_{n+1}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(A_{1})\oplus H_{n}(B_{1})&\longrightarrow &H_{n}(X_{1})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{1}\cap B_{1})&\longrightarrow &\cdots \\&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }&&f_{*}{\Bigg \downarrow }\\\cdots &H_{n+1}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(A_{2})\oplus H_{n}(B_{2})&\longrightarrow &H_{n}(X_{2})&\longrightarrow &H_{n-1}(A_{2}\cap B_{2})&\longrightarrow &\cdots \\\end{matrix}}}
Versões coomológicas
A sequência exata longa de Mayer-Vietoris para os grupos de coomologia singular com grupo de coeficientes G é dual à versão homológica. É a seguinte: ⋯ → H n ( X ; G ) → H n ( A ; G ) ⊕ H n ( B ; G ) → H n ( A ∩ B ; G ) → H n + 1 ( X ; G ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H^{n}(X;G)\to H^{n}(A;G)\oplus H^{n}(B;G)\to H^{n}(A\cap B;G)\to H^{n+1}(X;G)\to \cdots } onde os mapas que preservam a dimensão são mapas de restrição induzidos por inclusões, e os mapas de (co)bordo são definidos de forma semelhante à versão homológica. Também existe uma formulação relativa. Como um caso especial importante quando G {\displaystyle G} é o grupo dos números reais, e o espaço topológico subjacente tem a estrutura adicional de uma variedade suave, a sequência de Mayer-Vietoris para a coomologia de de Rham é ⋯ → H n ( X ) → ρ H n ( U ) ⊕ H n ( V ) → Δ H n ( U ∩ V ) → d ∗ H n + 1 ( X ) → ⋯ {\displaystyle \cdots \to H^{n}(X)\,{\xrightarrow {\rho }}\,H^{n}(U)\oplus H^{n}(V)\,{\xrightarrow {\Delta }}\,H^{n}(U\cap V)\,{\xrightarrow {d^{*}}}\,H^{n+1}(X)\to \cdots } onde { U , V } {\displaystyle \{U,V\}} é uma cobertura aberta de X {\displaystyle X} , ρ {\displaystyle \rho } denota a aplicação de restrição, e Δ {\displaystyle \Delta } é a diferença. O mapa d ∗ {\displaystyle d^{*}} é definido de modo semelhante ao mapa ∂ ∗ {\displaystyle \partial _{*}} visto anteriormente. Ele pode ser descrito de forma breve da seguinte maneira: para uma classe de coomologia ω {\displaystyle \omega } representada por uma forma fechada ω {\displaystyle \omega } em U ∩ V {\displaystyle U\cap V} , expressa-se ω {\displaystyle \omega } como a diferença das formas ω U − ω V {\displaystyle \omega _{U}-\omega _{V}} através de uma partição da unidade subordinada à cobertura aberta { U , V } {\displaystyle \{U,V\}} , por exemplo. A derivada exterior d ω U {\displaystyle d\omega _{U}} e d ω V {\displaystyle d\omega _{V}} concordam em U ∩ V {\displaystyle U\cap V} e, assim, juntas definem uma forma n + 1 {\displaystyle n+1} σ {\displaystyle \sigma } em X {\displaystyle X} . Tem-se então que d ∗ = ( [ ω ] ) = [ σ ] {\displaystyle d^{*}=([\omega ])=[\sigma ]} .
Derivação
Considere a sequência exata longa associada às sequências exatas curtas de grupos de cadeias (grupos que compõem os complexos de cadeias) 0 → C n ( A ∩ B ) → α C n ( A ) ⊕ C n ( B ) → β C n ( A + B ) → 0 , {\displaystyle 0\to C_{n}(A\cap B)\,\xrightarrow {\alpha } \,C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\,\xrightarrow {\beta } \,C_{n}(A+B)\to 0,} onde α ( x ) = ( x , − x ) {\displaystyle \alpha (x)=(x,-x)} , β ( x , y ) = x + y {\displaystyle \beta (x,y)=x+y} , e C n ( A + B ) {\displaystyle C_{n}(A+B)} é o grupo de cadeias que consiste nas somas de cadeias em A {\displaystyle A} e cadeias em B {\displaystyle B} . É um fato que os n {\displaystyle n} -simplexos singulares de X {\displaystyle X} cujas imagens estão contidas quer em A {\displaystyle A} ou quer em B {\displaystyle B} geram todos os elementos do grupo de homologia H n ( X ) {\displaystyle H_{n}(X)} . Em outras palavras, H n ( A + B ) {\displaystyle H_{n}(A+B)} é isomorfo a H n ( X ) {\displaystyle H_{n}(X)} . Isso fornece a sequência de Mayer-Vietoris para a homologia singular.
Outras teorias de homologia
A derivação da sequência de Mayer-Vietoris a partir dos Axiomas de Eilenberg-Steenrod não faz uso do axioma da dimensão. Consequentemente, a sequência se estende de teorias comuns para teorias de (co)homologia generalizadas ou extraordinárias, como a K-teoria topológica e o cobordismo. Na moderna teoria da homotopia estável, isso é explicado pela representabilidade de Brown: uma teoria de coomologia generalizada reduzida é representada por um espectro E {\displaystyle E} . Esquematicamente, podemos escrever E ~ n ( X ) ≅ [ Σ ∞ X , Σ n E ] , {\displaystyle {\widetilde {E}}^{n}(X)\cong [\Sigma ^{\infty }X,\Sigma ^{n}E],} onde Σ ∞ X {\displaystyle \Sigma ^{\infty }X} é o espectro de suspensão de X {\displaystyle X} e Σ n E {\displaystyle \Sigma ^{n}E} é a suspensão (deslocamento) n {\displaystyle n} -ésima de E {\displaystyle E} . Nesta linguagem, a sequência de Mayer-Vietoris reflete o fato de que o mesmo padrão de colagem excisiva dos espaços fundamenta cada teoria; o que varia de uma teoria para outra é o espectro representante.
Coomologia de feixes
Do ponto de vista da coomologia de feixes, a sequência de Mayer-Vietoris está relacionada à coomologia de Čech. Mais especificamente, ela surge da degeneração da sequência espectral que relaciona a coomologia de Čech com a coomologia de feixes (às vezes chamada de sequência espectral de Mayer-Vietoris) no caso em que a cobertura aberta usada para computar a coomologia de Čech consiste em dois conjuntos abertos. Esta sequência espectral existe em topos arbitrários.
