Cobordismo
Em matemática, o cobordismo é uma relação de equivalência crucial na classe de variedades compactas da mesma dimensão. Ele é definido pelo conceito de fronteira de uma variedade. Duas variedades da mesma dimensão são consideradas cobordantes se a união disjunta delas formar a fronteira de uma variedade compacta de uma dimensão superior.
Pontos-chave
- Cobordismo é uma relação de equivalência para variedades compactas da mesma dimensão.
- Duas variedades são cobordantes se sua união disjunta for a fronteira de uma variedade de dimensão superior.
- Variedades são espaços topológicos localmente homeomórficos ao espaço euclidiano ou ao meio-espaço.
- Funções de Morse e a teoria de handles (alças) são fundamentais para entender a estrutura dos cobordismos.
- O cobordismo é uma teoria de cohomologia extraordinária e tem aplicações em diversas áreas da topologia.
Para entender o cobordismo, é essencial compreender o que são variedades e seus limites. Uma variedade é um espaço que se assemelha localmente ao espaço euclidiano, enquanto uma variedade com limite permite pontos que se assemelham ao meio-espaço euclidiano. A fronteira de uma variedade é composta por esses pontos especiais.
O que são Variedades?
Uma variedade n-dimensional M é, de forma simplificada, um espaço topológico que, em cada um de seus pontos, se parece localmente com um subconjunto aberto do espaço euclidiano R^n. Uma variedade com limite é similar, mas alguns pontos de M podem ter uma vizinhança que se assemelha a um subconjunto aberto do meio-espaço (x1, ..., xn) ∈ R^n | xn ≥ 0. Os pontos que não possuem uma vizinhança homeomórfica a um subconjunto aberto do espaço euclidiano são os pontos-limite de M, e sua coleção forma a fronteira de M, denotada por ∂M. Uma variedade fechada é, por definição, um espaço compacto que não possui limite (∂M = ∅).
As funções de Morse desempenham um papel crucial na compreensão da estrutura geométrica dos cobordismos. Elas permitem decompor um cobordismo em uma sequência de 'cirurgias' ou anexações de alças, revelando a relação entre a topologia e a análise diferencial.
Conexão com a Teoria de Morse e Handles (Alças)
Considere uma função de Morse 'f' em uma variedade (n+1)-dimensional. Se 'c' é um valor crítico com um único ponto crítico em sua pré-imagem, e o índice desse ponto crítico é p+1, então o nível N = f^(-1)(c + ε) é obtido de M = f^(-1)(c - ε) por uma cirurgia p. A imagem inversa W = f^(-1)([c − ε, c + ε]) define um cobordismo (W; M, N) que pode ser identificado com o traço dessa cirurgia. Dado um cobordismo (W; M, N), existe uma função suave f: W → [0, 1] tal que f^(-1)(0) = M e f^(-1)(1) = N. Assumindo que f é Morse e que todos os pontos críticos estão no interior de W, f é chamada uma função Morse em um cobordismo. O cobordismo (W; M, N) é uma união dos traços de uma sequência de cirurgias em M, uma para cada ponto crítico de f. A variedade W é obtida de M × [0, 1] anexando uma alça para cada ponto crítico de f. O teorema de Morse/Smale estabelece que, para uma função de Morse em um cobordismo, as linhas de fluxo de f' dão origem a uma apresentação de alça do trio (W; M, N). Reciprocamente, uma decomposição de um cobordismo em alças pode ser associada a uma função de Morse adequada, estabelecendo uma correspondência entre esses dois conceitos.
O conceito de cobordismo tem suas raízes nas tentativas de Henri Poincaré de definir a homologia e ganhou proeminência com o trabalho de Lev Pontryagin e René Thom. Tornou-se uma ferramenta fundamental na topologia, conectando-se à teoria da homotopia e à teoria-K, e influenciando importantes teoremas como o de Hirzebruch–Riemann–Roch e o teorema do índice Atiyah–Singer.
Além de ser uma relação de equivalência, os cobordismos podem ser vistos como objetos em uma categoria. Nesta categoria, as variedades fechadas são os objetos e os cobordismos atuam como morfismos, permitindo a composição através da 'colagem' de cobordismos. Essa estrutura categórica é fundamental para a teoria quântica de campos topológica.
O cobordismo se estabelece como uma teoria de cohomologia extraordinária, análoga à teoria-K para fibrados vetoriais. Isso significa que ele possui grupos de homologia (bordismo) e cohomologia (cobordismo) generalizados, que são covariantes e contravariantes, respectivamente, em relação a um espaço X. Os grupos de cobordismo definidos inicialmente são, sob essa ótica, os grupos de homologia de um ponto.
