Cobordismo
Em matemática, o cobordismo é uma relação de equivalência fundamental na classe de variedades compactas da mesma dimensão, configurada usando o conceito de fronteira de uma variedade. Duas variedades da mesma dimensão são cobordantes se a união disjunta for o limite de uma variedade compacta uma dimensão mais alta.
Variedades
Grosso modo, uma variedade n-dimensional M {\displaystyle M} é um espaço topológico local (ou seja, próximo a cada ponto) homeomórfico a um subconjunto aberto do espaço euclidiano R n . {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.} Um coletor com limite é semelhante, exceto que um ponto de M {\displaystyle M} pode ter uma vizinhança que é homeomórfica a um subconjunto aberto do meio espaço { ( x 1 , … , x n ) ∈ R n ∣ x n ⩾ 0 } . {\displaystyle \{(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{n}\geqslant 0\}.} Aqueles pontos sem uma vizinhança homeomórfica a um subconjunto aberto do espaço euclidiano são os pontos-limite de M {\displaystyle M} ; o limite de M {\displaystyle M} é indicado por ∂ M {\displaystyle \partial M} . Finalmente, variedade fechada é, por definição, um espaço compacto sem limite ( ∂ M = ∅ {\displaystyle \partial M=\emptyset } .)
Suponha que f é uma função Morse em uma (n + 1)-variedade múltipla e suponha que c seja um valor crítico com exatamente um ponto crítico em sua pré-imagem. Se o índice deste ponto crítico for p + 1, então o nível N definido: = f −1 (c + ε) é obtido de M := f −1 (c - ε) por uma cirurgia p. A imagem inversa W := f −1 ([c − ε, c + ε]) define um cobordismo (W ; M, N) que pode ser identificado com o traço desta cirurgia.
Geometria e a conexão com a teoria de Morse e guidão
Dado um cobordismo (W; M, N), existe uma função suave f : W → [0, 1] tal que f −1 (0) = M, f −1 (1) = N. Pela posição geral, pode-se supor que f é Morse e tal que todos os pontos críticos ocorrem no interior de W. Nesse cenário, f é chamada função Morse em um cobordismo. O cobordismo (W; M, N) é uma união dos traços de uma sequência de cirurgias em M, uma para cada ponto crítico de f. A variedade W é obtida de M × [0, 1] anexando uma alça para cada ponto crítico de f. O teorema de Morse/Smale afirma que, para uma função de Morse em um cobordismo, as linhas de fluxo de f' dão origem a uma apresentação de ansa do triplo (W; M, N). Por outro lado, dada a decomposição de um cobordismo, ele vem de uma função Morse adequada. Em um ambiente adequadamente normalizado, esse processo fornece uma correspondência entre decomposições de identificadores e funções de Morse em um cobordismo.
O cobordismo teve suas raízes na tentativa (falha) de Henri Poincaré, em 1895, de definir a homologia puramente em termos de variedades (Dieudonné 1989, p. 289). Poincaré definiu simultaneamente a homologia e o cobordismo, que não são os mesmos em geral. Veja o cobordismo como uma teoria extraordinária da cohomologia para a relação entre bordismo e homologia. O bordismo foi explicitamente introduzido por Lev Pontryagin no trabalho geométrico de variedades. Ele ganhou destaque quando René Thom mostrou que os grupos de cobordismo podiam ser computados por meio da teoria da homotopia, através da construção do complexo de Thom. A teoria do cobordismo tornou-se parte do aparato da extraordinária teoria da cohomologia, ao lado da teoria-K. Ele desempenhou um papel importante, historicamente falando, nos desenvolvimentos da topologia na década de 1950 e no início da década de 1960, em particular no teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch e nas primeiras provas do teorema do índice Atiyah–Singer.
Os cobordismos são objetos de estudo por si só, além das classes de cobordismo. Os cobordismos formam uma categoria cujos objetos são variedades fechadas e cujos morfismos são cobordismos. Grosso modo, a composição é dada colando os cobordismos de ponta a ponta: a composição de (W; M, N ) e (W'; N, P) é definida pela colagem da extremidade direita da primeira à extremidade esquerda de o segundo, produzindo (W′N W; M, P). Um cobordismo é uma espécie de cospan: [a] M → W ← N. Uma teoria topológica de campos quânticos é um functor monoidal de uma categoria de cobordismos a uma categoria de espaços vetoriais. Ou seja, é um functor cujo valor em uma união disjunta de variedades é equivalente ao produto tensorial de seus valores em cada variedade constituinte. Em baixas dimensões, a questão do bordismo é relativamente trivial, mas a categoria de cobordismo não é. Por exemplo, o disco que delimita o círculo corresponde a uma operação com valor nulo, enquanto o cilindro corresponde a uma operação com 1 valor e o par de calças a uma operação binária.
Toda teoria de fibrado vetorial (real, complexa etc.) tem uma teoria da cohomologia extraordinária chamada teoria-K. Da mesma forma, toda teoria do cobordismo ΩG tem uma teoria da cohomologia extraordinária, com grupos de homologia ("bordismo") Ω n G ( X ) {\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)} e grupos de cohomologia ("cobordismo") Ω G n ( X ) {\displaystyle \Omega _{G}^{n}(X)} para qualquer espaço X. Os grupos de homologia generalizada Ω ∗ G ( X ) {\displaystyle \Omega _{*}^{G}(X)} são covariantes em X, e os grupos de cohomologia generalizada Ω G ∗ ( X ) {\displaystyle \Omega _{G}^{*}(X)} são contravariáveis em X. Os grupos de cobordismo definidos acima são, deste ponto de vista, os grupos de homologia de um ponto: Ω n G = Ω n G ( pt ) {\displaystyle \Omega _{n}^{G}=\Omega _{n}^{G}({\text{pt}})} . Então Ω n G ( X ) {\displaystyle \Omega _{n}^{G}(X)} é o grupo de classes de pares de bordos (M, f) com uma variedade n- dimensional fechada M (com estrutura G) e f : M → X um mapa. Tais pares (M, f), ( N, g ) são limitados se existir um cobordismo G (W; M, N) com um mapa h : W → X, que se restringe a f em M e g em N.
