Operador linear limitado
Na análise funcional, um operador linear limitado é uma transformação linear entre espaços vetoriais topológicos que mapeia subconjuntos limitados de um espaço para subconjuntos limitados de outro. Se os espaços são normados, um operador é considerado limitado se existe uma constante M tal que a norma da imagem de qualquer vetor é menor ou igual a M vezes a norma do vetor original. Este conceito é fundamental para entender a continuidade e outras propriedades de transformações lineares em contextos de espaços normados.
Pontos-chave
- É uma transformação linear entre espaços vetoriais topológicos.
- Mapeia subconjuntos limitados do domínio para subconjuntos limitados do contradomínio.
- Em espaços normados, sua limitação é definida pela existência de uma constante M.
- A constante M garante que a norma da imagem é limitada pela norma do vetor original.
- A limitação de um operador linear em espaços normados implica sua continuidade uniforme.
Para uma transformação linear T entre espaços normados X e Y, T é um operador linear limitado se existe um número real positivo M tal que a norma de T(x) é menor ou igual a M vezes a norma de x, para todo x em X. O conjunto de todos esses operadores limitados de X em Y é denotado por L(X,Y). A norma de um operador linear limitado é definida como o menor M que satisfaz essa condição, ou equivalentemente, o supremo das normas de T(x) para x de norma 1. Além disso, a limitação de um operador linear em espaços normados é equivalente à sua continuidade uniforme.
