Continuidade uniforme

No livro An Elementary Course in Analytic Geometry, de 1808, John Henry Tanner e Joseph Allen definem função contínua real com o que, hoje, é a definição de função uniformemente contínua.[carece de fontes]? Segundo esta obra, uma função contínua seria uma função y = φ ( x ) {\displaystyle y=\varphi (x)} que, quando a variável independente x {\displaystyle x} passa por todos os valores reais entre a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} , o valor de φ ( x ) {\displaystyle \varphi (x)} nunca se torna infinito e cobre todos valores entre φ ( a ) {\displaystyle \varphi (a)} e φ ( b ) {\displaystyle \varphi (b)} . Esta definição é falsa. Uma forma mais precisa desta definição é dizer que, para uma função real, definida para valores entre a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} , dados quaisquer valores x 1 {\displaystyle x_{1}} e x 2 {\displaystyle x_{2}} entre a {\displaystyle a} e b {\displaystyle b} , os valores de φ ( x 1 ) {\displaystyle \varphi (x_{1})} e φ ( x 2 ) {\displaystyle \varphi (x_{2})} devem ser finitos e deve ser possível achar para cada valor ε {\displaystyle \varepsilon } um valor δ {\displaystyle \delta } [Nota 1] tal que sempre que | x 1 − x 2 | < δ {\displaystyle |x_{1}-x_{2}|<\delta } , tem-se que | φ ( x 1 ) − φ ( x 2 ) | < ε {\displaystyle |\varphi (x_{1})-\varphi (x_{2})|<\varepsilon } .[Nota 2] Em outras palavras, sendo f {\displaystyle f} uma função real definida em X {\displaystyle X} , diremos que f {\displaystyle f} é uniformemente contínua quando dado ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , existe δ > 0 {\displaystyle \delta >0} tal que

Para a função f : X → Y {\displaystyle f:X\to Y\,} definida do espaço métrico X {\displaystyle X\,} para o espaço métrico Y {\displaystyle Y\,} , f {\displaystyle f\,} é dita uniformemente contínua se dado ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0\,} existe um δ > 0 {\displaystyle \delta >0\,} tal que: Ou seja, juntando tudo em uma única sentença matemática: A definição mais fraca de uma função contínua em todos os pontos se escreve assim: Observa-se que para uma função ser contínua em todos os pontos, basta ser possível escolher um δ {\displaystyle \delta \,} para cada x {\displaystyle x\,} , enquanto que a continuidade uniforme exige um δ {\displaystyle \delta \,} global, para todo x {\displaystyle x\,} . Para dizer que uma função real f {\displaystyle f} não é uniformemente contínua, basta mostrar que se dado ε > 0 {\displaystyle \varepsilon >0} , seja qual for δ > 0 {\displaystyle \delta >0} , podemos encontrar x {\displaystyle x} e y {\displaystyle y} no domínio de f {\displaystyle f} tal que

As propriedades e exemplos são baseados no livro Curso de Análise volume 1, de Elon Lages Lima.