Espaço de Banach
Em matemática, um espaço de Banach, é um espaço vectorial normado completo. Deve seu nome ao matemático polaco Stefan Banach (1892–1945), o qual contribuiu para a teoria das séries ortogonais e inovações na teoria de medida e integração, sendo a sua contribuição mais importante na análise funcional.
Espaços métricos
Sejam M {\displaystyle M} um conjunto não-vazio e d {\displaystyle d} uma métrica em M {\displaystyle M} , dizemos que o par ( M {\displaystyle M} , d {\displaystyle d} ) é um espaço métrico.
Espaço vetorial normado
Seja E {\displaystyle E} um espaço vetorial sobre um corpo e ‖ . ‖ {\displaystyle \|.\|} uma norma de E {\displaystyle E} . O par ( E {\displaystyle E} , ‖ . ‖ {\displaystyle \|.\|} ) é um espaço vetorial normado. De fato, os axiomas da métrica são satisfeitos. Assim, para todo x , y , z ∈ E {\displaystyle \ x,\ y,\ z\in E} , resulta: Para o caso de x < y {\displaystyle x<y} , temos: ‖ x − y ‖ = − ( x − y ) = y − x > 0 {\displaystyle \|x-y\|=-(x-y)=y-x>0} ; Assim, todo espaço normado ( E {\displaystyle E} , ‖ . ‖ {\displaystyle \|.\|} ) é um espaço métrico ( E {\displaystyle E} , d {\displaystyle d} ), com d {\displaystyle d} sendo a métrica induzida pela norma ‖ . ‖ {\displaystyle \|.\|} . De modo particular, todo espaço normado é um espaço topológico.
Sequência de Cauchy
Uma sequência ( x n ) {\displaystyle (x_{n})} em um espaço métrico M {\displaystyle M} chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo ϵ > 0 {\displaystyle \epsilon >0} dado, existe n 0 ∈ N {\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} } tal que m , n > n 0 {\displaystyle m,n>n_{0}} implica d ( x m , x n ) < ϵ {\displaystyle d(x_{m},x_{n})<\epsilon } . Intuitivamente, à medida que o índice n {\displaystyle n} cresce, os termos da sequência de Cauchy se tornam mais próximos.
Espaços métricos completos
Um espaço métrico M {\displaystyle M} é completo quando toda sequência de Cauchy em M {\displaystyle M} é convergente em M {\displaystyle M} .
Um espaço vectorial normado E {\displaystyle E} é chamado espaço de Banach quando for um espaço métrico completo, ou seja, se toda sequência de Cauchy em E {\displaystyle E} é convergente em E {\displaystyle E} . Quando queremos mostrar que um espaço é normado, a principal dificuldade ocorre em se demonstrar a desigualdade triangular. Há algumas desigualdades que nos auxiliam bastante neste processo:
Desigualdade de Young
Dados a , b ∈ R , p , q ∈ ( 1 , + ∞ ) {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,\;p,q\in (1,+\infty )} tais que a , b > 0 e 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle a,b>0{\text{ e }}{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} (dizemos que p e q {\displaystyle p{\text{ e }}q} são conjugados de Hölder)¨, vale a desigualdade: a b ⩽ a p p + b q q . {\displaystyle ab\leqslant {\frac {a^{p}}{p}}+{\frac {b^{q}}{q}}.}
Desigualdade de Hölder
Dados x = ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) , y = ( y 1 , y 2 , ⋯ , y n ) ∈ R n , p , q ∈ ( 1 , + ∞ ) {\displaystyle x=(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}),\;y=(y_{1},y_{2},\cdots ,y_{n})\in \mathbb {R} ^{n},\;p,q\in (1,+\infty )} conjugados de Hölder, vale a desigualdade: ∑ i = 1 n | x i y i | ⩽ ( ∑ i = 1 n | x i | p ) 1 p ( ∑ i = 1 n | y i | q ) 1 q . {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\vert x_{i}y_{i}\vert \leqslant \left(\sum _{i=1}^{n}\vert x_{i}\vert ^{p}\right)^{\frac {1}{p}}\left(\sum _{i=1}^{n}\vert y_{i}\vert ^{q}\right)^{\frac {1}{q}}.} Se definimos um produto coordenada a coordenada em R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} da forma x y = ( x 1 y 1 , x 2 y 2 , ⋯ , x n y n ) {\displaystyle xy=(x_{1}y_{1},x_{2}y_{2},\cdots ,x_{n}y_{n})} , podemos reescrever a desigualdade como:
Desigualdade de Minkowski
Dados x , y ∈ R n e p ∈ ( 1 , + ∞ ) {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{n}{\text{ e }}p\in (1,+\infty )} , vale a desigualdade: ‖ x + y ‖ p ⩽ ‖ x ‖ p + ‖ y ‖ p . {\displaystyle \Vert x+y\Vert _{p}\leqslant \Vert x\Vert _{p}+\Vert y\Vert _{p}.}
Toda função contínua é limitada num compacto, portanto a norma está bem definida. Os axiomas da norma são facilmente verificados. Ainda, convergência nesta norma é equivalente à convergência uniforme. Como convergência uniforme preserva continuidade, o espaço é completo.
Os espaços ℓ p {\displaystyle \ell ^{p}}
Vendo que os espaços R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} das n-uplas de números reais são espaços de Banach, queremos estender a definição de norma nesses espaços para o conjunto das sequências a fim de torná-las também em espaços de Banach. Tomemos então p ∈ [ 1 , + ∞ ) {\displaystyle p\in [1,+\infty )} , e definamos o conjunto ℓ p = { x = ( x i ) i ∈ N ∈ R N | ∑ i = 1 ∞ | x i | p < + ∞ } {\displaystyle \ell ^{p}=\left\{x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }\left|\;\sum _{i=1}^{\infty }\vert x_{i}\vert ^{p}<+\infty \right.\right\}} , munido das operações de soma e produto por escalar coordenada a coordenada. Podemos verificar que esse espaço é de fato um espaço vetorial com essas operações, e definindo a norma
O espaço ℓ ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }} e seus subespaços
Tomando novamente o espaço das sequências de números reais, definindo ℓ ∞ = { x = ( x i ) i ∈ N ∈ R N : ( x i ) i ∈ N é limitada } {\displaystyle \ell ^{\infty }=\left\{x=(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }\in \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }:(x_{i})_{i\in \mathbb {N} }{\text{ é limitada }}\right\}} e tomando a norma ‖ x ‖ ∞ = sup i ∈ N | x i | {\displaystyle \Vert x\Vert _{\infty }=\sup _{i\in \mathbb {N} }\vert x_{i}\vert } , temos que ( ℓ ∞ , ‖ ⋅ ‖ ∞ ) {\displaystyle (\ell ^{\infty },\Vert \cdot \Vert _{\infty })} é espaço de Banach. Definindo os subconjuntos de ℓ ∞ {\displaystyle \ell ^{\infty }} c = { x ∈ ℓ ∞ : x é convergente } {\displaystyle c=\{x\in \ell ^{\infty }:x{\text{ é convergente}}\}} ;
Espaço da transformações lineares entre espaços normados
Dados espaços normados X , Y {\displaystyle X,Y} , uma transformação T : X → Y {\displaystyle T:X\to Y} é: É possível mostrar que são equivalentes: Definindo o conjunto L ( X , Y ) = { T : x → Y | T linear e limitada } {\displaystyle {\mathcal {L}}(X,Y)=\{T:x\to Y\;\vert \;T{\text{ linear e limitada}}\}} e a norma ‖ T ‖ = sup x ∈ B X ‖ T ( x ) ‖ {\displaystyle \Vert T\Vert =\sup _{x\in B_{X}}\Vert T(x)\Vert } , onde B X = { x ∈ X : ‖ x ‖ ≤ 1 } {\displaystyle B_{X}=\{x\in X:\Vert x\Vert \leq 1\}} , ( L ( X , Y ) , ‖ ⋅ ‖ ) {\displaystyle ({\mathcal {L}}(X,Y),\Vert \cdot \Vert )} é um espaço de Banach, contanto que Y {\displaystyle Y} seja de Banach.
