Convergência uniforme
Em matemática, em particular na análise funcional, a convergência uniforme é um conceito mais forte que a convergência pontual, para definir se o limite de uma sequência de funções existe.
Como comparação, uma sequência de funções f n ( x ) : S → R {\displaystyle f_{n}(x):S\rightarrow \mathbb {R} \,} converge pontualmente para uma função f : S → R {\displaystyle f:S\rightarrow \mathbb {R} \,} se, e somente se: A sequência converge uniformemente quando: Essa diferença é importante: para provar a convergência pontual, basta escolher um N para cada ε {\displaystyle \varepsilon \,} e cada x. Para provar a convergência uniforme, é preciso escolher, para cada ε {\displaystyle \varepsilon \,} um N que se aplica a todo x. É fácil ver que a convergência uniforme é equivalente à convergência na norma do supremo. Mais precisamente, consideremos o conjunto das funções ϕ : S → R {\textstyle \phi :S\rightarrow \mathbb {R} \,} que são limitadas, que designaremos por B ( S , R ) {\textstyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})} . Munido das operações de soma de funções e de produto de um escalar real por uma função, este conjunto torna-se num espaço vetorial real (que é, aliás, subespaço do espaço vetorial das funções reais F ( S , R ) {\displaystyle {\mathcal {F}}(S,\mathbb {R)} } ). Através da relação ‖ ϕ ‖ ∞ = sup { | ϕ ( x ) | : x ∈ S } {\displaystyle \lVert \phi \rVert _{\infty }=\sup\{|\phi (x)|:x\in S\}} definimos uma aplicação ϕ ↦ ‖ ϕ ‖ {\displaystyle \phi \mapsto \lVert \phi \rVert } de B ( S , R ) {\displaystyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})} em R {\displaystyle \mathbb {R} } que constitui uma norma em B ( S , R ) {\displaystyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})} e que é chamada norma do supremo. É conhecido que para esta norma, B ( S , R ) {\displaystyle {\mathcal {B(S,\mathbb {R} }})} é um espaço de Banach:170.
Tomemos agora S {\displaystyle S} , não como um simples conjunto mas como um espaço topológico qualquer. Se S {\displaystyle S} for um espaço métrico compacto, como por exemplo um intervalo limitado e fechado [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , uma relação mais específica entre continuidade e convergência uniforme foi estabelecida por Ulisse Dini no teorema seguinte o qual é apresentado com maior detalhe por E. L. Lima em (p.211).
Teorema (de Dini)
Se f n : S → R {\displaystyle f_{n}:S\rightarrow \mathbb {R} } uma sucessão de funções contínuas em S {\displaystyle S} que em cada ponto de x ∈ S {\displaystyle x\in S} cresce (ou decresce) para f ( x ) {\displaystyle f(x)} e f {\displaystyle f} é também contínua em S {\displaystyle S} , então f n {\displaystyle f_{n}} converge unformemente para f {\displaystyle f} em S {\displaystyle S} . Para o caso de ser S = [ a , b ] {\displaystyle S=[a,b]} , uma demonstração diferente é apresentada D. G. Figueiredo.
Seja S = I ⊂ R {\displaystyle S=I\subset \mathbb {R} } um intervalo da reta real. Que f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)\,} converge uniformemente para zero é fácil ver pois | f n ( x ) | < 1 n {\displaystyle |f_{n}(x)|<{\frac {1}{\sqrt {n}}}\,} . Podemos provar que não existe um x {\displaystyle x\,} tal que f n ′ ( x ) {\displaystyle f_{n}'(x)\,} é limitado. Para tal, suponha que exista tal x {\displaystyle x\,} , como n → ∞ {\displaystyle {\sqrt {n}}\to \infty \,} , cos ( n x ) → 0 {\displaystyle \cos(nx)\to 0\,} e portanto existe um N > 0 {\displaystyle N>0\,} com a propriedade: Como | f n ( x ) | ≤ 1 2 n {\displaystyle |f_{n}(x)|\leq {\frac {1}{2n}}\,} , f n {\displaystyle f_{n}\,} converge uniformemente para zero. A derivado do limite é, portanto, zero. Mas o limites das derivadas é:
Coloquemo-nos agora perante a norma do supremo em B ( [ a , b ] , R ) {\displaystyle {\mathcal {B([a,b],\mathbb {R} }})} e atentemos previamente nos três exemplos seguintes.
Exemplo 1
Designemos por q 1 , q 2 , . . . , q n , . . . {\displaystyle q_{1},q_{2},...,q_{n},...} , a sucessões dos racionais no intervalo [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} e consideremos a sucessão de funções neste intervalo definida através de: f n ( x ) = { 1 , se x ∈ { q 1 , . . . , q n } 0 , se x ∈ [ 0 , 1 ] ∖ { q 1 , . . . , q n } . {\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\text{se }}x\in \{q_{1},...,q_{n}\}\\0,&{\text{se }}x\in [0,1]\setminus \{q_{1},...,q_{n}\}.\end{cases}}} Trata-se de uma sucessão de funções limitadas, cada uma apenas com um número finito de descontinuidades, logo integráveis à Riemann. Para cada x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in [0,1]} , a correspondente função limite f ( x ) = lim n → ∞ f n ( x ) {\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)} é a função de Dirichlet
Exemplo 2
f n ( x ) = { 1 + x + . . . + x n , se x ∈ [ 0 , 1 [ , 0 , se x = 1. {\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1+x+...+x^{n},&{\text{se }}x\in [0,1[,\\0,&{\text{se }}x=1.\end{cases}}} Trata-se de uma sucessão de funções limitadas em [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} ( 0 ≤ f n ( x ) ≤ n {\displaystyle 0\leq f_{n}(x)\leq n} , para cada x ∈ [ 0 , 1 ] {\displaystyle x\in [0,1]} ) com apenas uma descontinuidade em x = 1 {\displaystyle x=1} , consequentemente integráveis. Contudo, a função limite é dada por f n ( x ) = { 1 / ( 1 − x ) , se x ∈ [ 0 , 1 [ , 0 , se x = 1 , {\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1/(1-x),&{\text{se }}x\in [0,1[,\\0,&{\text{se }}x=1,\end{cases}}}
Exemplo 3
Mas para f n ( x ) = x / n {\displaystyle f_{n}(x)=x/n} , com x {\displaystyle x} em [ 0 , 1 ] {\displaystyle [0,1]} , temos uma sucessão de funções contínuas, em que a função limite é a função identicamente nula, obviamente integrável, sendo lim n → ∞ ∫ 0 1 x n d x = lim n → ∞ 1 2 n = 0. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}{\frac {x}{n}}dx=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{2n}}=0.} Observe-se que neste caso a convergência é uniforme pois ‖ f n − f ‖ ∞ = sup { x n : x ∈ [ 0 , 1 ] } = 1 n → 0 {\displaystyle \lVert f_{n}-f\rVert _{\infty }=\sup\{{\frac {x}{n}}:x\in [0,1]\}={\frac {1}{n}}\rightarrow 0} . Isto é, apenas neste último exemplo, a função limite é integrável e tem-se a validade da seguinte fórmula
Teorema 1 (da Convergência Uniforme)
Seja f n ( x ) {\displaystyle f_{n}(x)} uma sucessão de funções integráveis em [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} , convergindo uniformemente para f ( x ) {\displaystyle f(x)\,} . Isto é, f n {\displaystyle f_{n}} é uma sucessão em B ( [ a , b ] , R ) {\displaystyle {\mathcal {B([a,b],\mathbb {R} }})} tal que ‖ f n − f ‖ ∞ → 0 {\displaystyle \lVert f_{n}-f\rVert _{\infty }\rightarrow 0} . Então f {\displaystyle f\,} é integrável em [ a , b ] {\displaystyle [a,b]} e: Este resultado é válido tanto para a integral de Riemann como para a integral de Lebesgue. No caso do integral de Lebesgue a simples convergência pontual é suficiente para garantir a integrabilidade à Lebesgue.
