Teoria das distribuições
O termo distribuição é uma generalização do termo função. A teoria foi desenvolvida em meados do século XX por Laurent Schwartz, que por sua genialidade recebeu a Medalha Fields.
A teoria das distribuições foi desenvolvida a fim de manipular determinadas singularidades que surgem na física matemática. Por exemplo, a distribuição delta de Dirac é adequada para descrever conceitos da física teórica, como uma massa puntual ou uma carga elétrica. De uma função densidade tridimensional de uma massa concentrada unitária é necessário que a mesma seja nula em todos os pontos, com exceção de um único ponto, no qual a função é infinita, tal que a integral volumétrica da função densidade seja unitária. Não existe função ordinária que satisfaça esta propriedade da função densidade. No entanto, sendo a integral interpretada como um funcional, é possível descrever a densidade como uma distribuição delta de Dirac. Atualmente distribuições são indispensáveis em diversos ramos da matemática, física e eletrotécnica, por exemplo na teoria das equações diferenciais parciais, bem como em análise de Fourier.
Definição de distribuições
Uma distribuição é uma transformação linear contínua de uma função teste nos números complexos. Isto significa que uma distribuição é uma transformação que associa a toda função teste um número. O conjunto das distribuições com suas correspondentes relações é portanto o espaço dual topológico do espaço das funções teste.
Notação
De acordo com a definição, uma distribuição associa a toda função teste um número Na última equação ( T , ϕ ) {\displaystyle (T,\phi )} é uma notação para o valor que a distribuição associa à função teste ϕ {\displaystyle \phi } . Diz-se: a distribuição T é aplicada sobre ϕ {\displaystyle \phi } .
Dentre os diversos espaços de funções teste serão descritos aqui três deles. o conjunto das funções infinitamente diferenciáveis com suporte compacto, ou seja, que fora de um domínio compacto são nulas.
Funções teste para distribuições gerais
Para o primeiro espaço de funções teste, denotado por D ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )} , é necessário um critério de convergência. Uma seqüência ( ϕ j ) j ∈ N {\displaystyle (\phi _{j})_{j\in \mathbb {N} }} com ϕ j ∈ C c ∞ ( Ω ) {\displaystyle \phi _{j}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )} converge ao valor ϕ {\displaystyle \phi } , quando existe um conjunto compacto K ⊂ Ω {\displaystyle K\subset \Omega } com supp ( ϕ j ) ⊂ K {\displaystyle \operatorname {supp} (\phi _{j})\subset K} para todo j {\displaystyle j} e para todo multi-índice α ∈ N n {\displaystyle \alpha \in \mathbb {N} ^{n}} . O espaço C c ∞ ( Ω ) {\displaystyle C_{c}^{\infty }(\Omega )} juntamente com este critério de convergência fornece um espaço convexo local, denotado por D ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {D}}(\Omega )} .
Funções teste para distribuições com suporte compacto
Um outro espaço de funções teste é o espaço das funções suaves C ∞ ( Ω ) {\displaystyle C^{\infty }(\Omega )} . Este espaço, juntamente com a seguinte família de semi-normas e a topologia induzida é denotado por E ( Ω ) {\displaystyle {\mathcal {E}}(\Omega )} . A família de semi-normas é expressa por Esta norma induz uma topologia convexa local
