Delta de Dirac
Em matemática, a função delta de Dirac, também conhecida como função δ, é uma distribuição na reta real, a qual vale infinito no ponto zero e é nula no restante da reta. A integral da função Delta de Dirac em toda reta é definida como tendo valor 1. Foi introduzida pelo físico teórico Paul Dirac em 1930 em seu livro ‘’The Principles of Quantum Mechanics’’. Seu análogo no domínio discreto é o delta de Kronecker,o qual vale 0 e 1.
Apesar do nome, a função Delta de Dirac não é verdadeiramente uma função. δ(x) difere de uma função g(x)=0 apenas em zero, e portanto as duas são funções iguais quase sempre. Segundo a teoria de integração de Lebesgue, duas funções integráveis e iguais quase sempre, têm,necessariamente, integrais idênticas. Entretanto, a integral da função g(x) é zero, e a da função Delta de Dirac vale 1 por definição. Desconsiderando o formalismo matemático, em termos práticos o Delta pode ser encarado como uma função na maioria dos casos. Geralmente é usado para modelar uma função impulso, isto é, modelar situações pontuais (como massas e cargas pontuais) ou instantâneas (adição instantânea de uma substância em uma reação química ou a dinâmica de um martelo batendo fortemente em um sistema massa mola, por exemplo).
Joseph Fourier nos apresentou o que é chamado nos dias de hoje de “Teorema de integral de Fourier” na sua obra “ Théorie analytique de la chaleur” na forma: A equação acima equivale a introdução da função- δ no seguinte formato: Anos mais tarde o matemático francês, Augustin-Louis Cauchy expressou o mesmo teorema no formato de funções exponenciais: Cauchy percebeu que em alguns casos a ordem da integração teria um resultado significativo no resultado final, conseguindo comprovar esta premissa por meio da teoria das distribuições. A equação encontrada por Cauchy pode ser organizada para se assemelhar com a formula inicial encontrada por Fourier, representando a função- δ como: Na qual a função- δ e representada como: A interpretação rigorosa da forma exponencial encontrada por Cauchy e como também as varias limitações sobre a função f necessárias para suas aplicações se estenderam por muitos séculos. Os problemas relatados pela interpretação clássica serão explicados a seguir: O maior inconveniente da classica transformacao de Fourier é a quantidade muito restrita de funções ( originais ) que podem ser efetivamente computadas. Ou seja, é necessário que essas funções decrescam suficientemente rápido para zero (próximo de infinito) para assegurar que exista a integral de Fourier. Por exemplo, a transformação de Fourier para funções simples como as polinomiais não existe na forma clássica.
Para definir matematicamente a função Delta de Dirac, é conveniente utilizar outra função singular, a chamada função de Heaviside, também conhecida por função salto ou degrau. Considera-se o Delta como o limite de funções pulso unitário f ϵ ( t ) {\displaystyle f_{\epsilon }(t)} , num curto intervalo de tempo [ − ϵ , ϵ ] {\displaystyle [-\epsilon ,\epsilon ]} , quando o parâmetro ϵ {\displaystyle \epsilon } tende a zero: f ϵ ( t ) = 1 2 ϵ [ u ( t + ϵ ) − u ( t − ϵ ) ] = { 0 t < − ϵ 1 2 ϵ − ϵ < t < ϵ 0 t > ϵ {\displaystyle f_{\epsilon }(t)={\frac {1}{2\epsilon }}[u(t+\epsilon )-u(t-\epsilon )]={\begin{cases}0&t<-\epsilon \\{\frac {1}{2\epsilon }}&-\epsilon <t<\epsilon \\0&t>\epsilon \end{cases}}} Para representar um impulso num instante de tempo que não zero, realiza-se um deslocamento na equação anterior: f ϵ ( t − a ) = 1 2 ϵ [ u ( t − ( a − ϵ ) ) − u ( t − ( a + ϵ ) ) ] = { 0 t < a − ϵ 1 2 ϵ a − ϵ < t < a + ϵ 0 t > a + ϵ {\displaystyle f_{\epsilon }(t-a)={\frac {1}{2\epsilon }}[u(t-(a-\epsilon ))-u(t-(a+\epsilon ))]={\begin{cases}0&t<a-\epsilon \\{\frac {1}{2\epsilon }}&a-\epsilon <t<a+\epsilon \\0&t>a+\epsilon \end{cases}}}
Imagem: Andrestand · BY-NC-ND · Openverse
Propriedade da Filtragem
Uma propriedade interessante da Delta de Dirac é a propriedade da filtragem: Para chegar a este resultado utilizou-se o fato de que a δ ( t − a ) {\displaystyle \delta (t-a)} é nula quando t≠a, então os limites de integração podem ser alterados para a-ε e a+ε. E como f ( t ) {\displaystyle f(t)} é contínua em t=a seu valor neste intervalo não será muito diferente de f ( a ) {\displaystyle f(a)} , pode-se dizer que aproximadamente, ∫ − ∞ ∞ δ ( t − a ) f ( t ) d t = ∫ a − ϵ a + ϵ δ ( t − a ) f ( t ) d t ≈ f ( a ) ∫ a − ϵ a + ϵ δ ( t − a ) d t = f ( a ) {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-a)f(t)dt=\int _{a-\epsilon }^{a+\epsilon }\delta (t-a)f(t)dt\approx f(a)\int _{a-\epsilon }^{a+\epsilon }\delta (t-a)dt=f(a)}
{\displaystyle } Transformada de Laplace da Delta de Dirac
Partindo-se da definição da Transformada de Laplace e utilizando a Propriedade da Filtragem, L ( δ ( t − a ) ) = ∫ 0 ∞ δ ( t − a ) e − s t d t = e − a s {\displaystyle {\mathcal {L}}(\delta (t-a))=\int _{0}^{\infty }\delta (t-a)e^{-st}dt=e^{-as}} .
Transformada de Fourier da Delta de Dirac
Assim como a Transformada de Laplace da função Delta de Dirac sua Transformada de Fourier também é obtida através da propriedade da filtragem, F ( δ ( t − a ) ) = ∫ − ∞ ∞ δ ( t − a ) e − i ω t d t = e − i ω a {\displaystyle {\mathcal {F}}(\delta (t-a))=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t-a)e^{-i\omega t}dt=e^{-i\omega a}} .
Imagem: felicemcc · BY-SA · Openverse
Em física, entre outras aplicações, ela é usada para representar densidades de objetos pontuais (e.g., carga pontual) e na normalização de operadores contínuos (e.g.,operador posição) da mecânica quântica. Além disso, podemos utilizá-la na mecânica clássica para representar um impulso sendo aplicado em um corpo.
Mecânica Estrutural
A equação governante que descreve um sistema massa-mola sob uma ação de uma força (impulso) em t=0 é m d 2 x d t 2 + k x = I δ ( t ) {\displaystyle m{\operatorname {d^{2}} \!x \over \operatorname {d} \!t^{2}}+kx=I\delta (t)} sendo m a massa, k a constante da mola e x {\displaystyle x} a deflexão dela. Além dessa equação, temos outras na área de mecânica estrutural, como a equação de Euler–Bernoulli, a qual descreve a deflexão de uma viga e é constituída por uma equação diferencial de quarta ordem. E I d 4 w d x 4 = q ( x ) {\displaystyle EI{d^{4}w \over dx^{4}}=q(x)} onde EI é a rigidez a flexão, pois E é o módulo da elasticidade e I é o momento de inércia da seção transversal de uma viga entorno de um eixo. W é a deflexão e q(x) é a distribuição da carga.
Imagem: Sir Wolken · BY-NC-SA · Openverse
Engenharia Elétrica
Em circuitos elétricos RLC, RL e RC, por exemplo, quando aplicamos uma fonte no circuito vemos uma saída diferente da entrada, essa saída atípica é composta pela resposta do circuito a excitação da fonte externa que depende das características da função de entrada e das características dos componentes do circuito como a capacitância, indutância e resistência. Como capacitores e indutores envolvem derivadas na relação corrente e tensão, teremos uma equação diferencial para o circuito. Esta equação pode ser resolvida usando a equação característica do circuito. A fonte excitante desse circuito pode ser modelada por uma Delta de Dirac, e o circuito responderá a esta excitação de uma forma muito particular como exemplificado adiante. Essa variação instantânea de tensão ou corrente pode ser pensada como uma chave abrindo ou fechando rapidamente, por exemplo, gerando um impulso de modelação instantânea. Este tempo de atuação é muito pequeno o que nos possibilita modelar o circuito usando as definições e propriedades da Delta de Dirac.
Engenharia Civil
Em Engenharia Civil, a função delta de Dirac é utilizada para modelagem de estruturas como, por exemplo, vigas. Nestes casos, a função delta de Dirac representa forças/momentos pontuais sendo aplicados na estrutura, como pode-se ver um exemplo abaixo: Modelagem da deflexão em vigas sujeitas a cargas concentradas: Considerando uma viga elástica horizontal de comprimento L sob a ação de forças verticais, coloca-se o eixo horizontal x com origem no extremo a esquerda da viga, logo, x=L é o outro extremo. Supõe-se que a viga está sujeita à uma carga W(x) que provoca deflexão em cada ponto x ∈ {\displaystyle \in } [0, L]. Para pequenas deflexões pode-se aproximar a curvatura k(x) pela variação instantânea de θ {\displaystyle \theta } (x), onde θ {\displaystyle \theta } (x) é o ângulo entre o eixo x e a tangente, ou seja,
Engenharia Hídrica
Em Engenharia Hídrica, a função delta de Dirac é utilizada na resolução da Equação do Helmholtz para um sistema barragem-albufeira , porém sua maior utilização é na modelagem de águas subterrâneas, sendo na modelagem aquíferos confinados, onde a função delta Dirac representa a vazão bombeada por um poço em um ponto específico e também para calcular a fonte ou sorvedouro tridimensional de um aquífero (equação abaixo), que foi deduzida a partir da lei de Darcy e do princípio da conservação de massa em um volume elementar representativo (REV) de um aquífero: W = ∑ i = 1 Q i δ ( x − x i ) δ ( y − y i ) δ ( z − z i ) {\displaystyle W=\sum _{i=1}Q_{i}\delta (x-x_{i})\delta (y-y_{i})\delta (z-z_{i})}
Em estatística, ela permite generalizar as fórmulas para variáveis aleatórias discretas e contínuas, por exemplo: O valor esperado de uma variável aleatória contínua é escrito como: Por outro lado, o valor esperado de uma variável aleatória discreta é escrito como: O uso da Delta de Dirac permite unificar estas duas fórmulas, definindo-se a função densidade de probabilidade de uma variável aleatória discreta por:
Com o delta de Direc nos permite descrever o metabolismo de uma medicação de acordo com uma taxa ( τ ) {\displaystyle (\tau )} (taxa que o organismo metaboliza o medicamento), o que é de extrema importância para determinar a dosagem ideal e também o intervalo de tempo entre as doses. A equação que descreve esse acontecimento é: m ′ = ( 1 τ ) m ( t ) = x ( t ) {\displaystyle m'=\left({\frac {1}{\tau }}\right)m(t)=x(t)} , para t>0 sendo x(t) a dosagem ao longo do tempo e m(t) a concentração do medicamento, lembrando que as doses entram no sangue de modo instantâneo e que a taxa de metabolização da droga é diretamente proporcional à concentração. Considerando a concentração administrada instantaneamente com intervalos T, podemos escrever a equação que se refere a entrada x(t): x ( t ) = m 0 [ δ ( t ) + δ ( t − T ) + δ ( t − 2 T ) + . . . ] {\displaystyle x(t)=m_{0}[\delta (t)+\delta (t-T)+\delta (t-2T)+...]}
Conhecido por ser um trem de impulso uniforme encontrado por meio do delta de Dirac ,também conhecido como função shah, cria uma função de amostragem, usualmente utilizada em processamento de sinais digitais e para análise de sinais de tempo discretos. O pente de Dirac é dado pela soma infinita, cujo limite pode ser entendido pelo sentido de distribuição, que e a sequencia massas pontuais de cada uma das integrais. Mediante a uma constante de normalizacao global, o pente de Dirac é igual a sua própria transformada de Fourier. Isso é muito significativo, pois se f for qualquer função de Schawartz, então a periodização de f será dada pela Convolução E precisamente como a “Poisson summation formula”.
Em certo sentido, pode-se dizer que a delta de Dirac é a derivada da função de passo Heaviside, ou que a integral da delta de Dirac é a função de passo Heaviside:
