Equação diferencial parcial

Um problema simples de EDP consiste em buscar uma solução suave u ( x , y ) : [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] → R {\displaystyle u(x,y):[0,1]\times [0,1]\rightarrow \mathbb {R} } satisfazendo: ∂ u ∂ x = 1 em ( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}=1{\hbox{ em }}(0,1)\times (0,1)} ∂ u ∂ y = 0 em ( 0 , 1 ) × ( 0 , 1 ) {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=0{\hbox{ em }}(0,1)\times (0,1)} u ( x , y ) = 1 em { x = 0 } × [ 0 , 1 ] {\displaystyle u(x,y)=1{\hbox{ em }}\{x=0\}\times [0,1]} que admite solução u ( x , y ) = x + 1 {\displaystyle u(x,y)=x+1} O próximo exemplo é um caso particular da equação do transporte: ∂ u ∂ t + v ( t ) ∂ u ∂ x = 0 , t > 0 {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+v(t){\frac {\partial u}{\partial x}}=0,t>0} u ( x , t ) = f ( x ) , t = 0 {\displaystyle u(x,t)=f(x),~t=0} onde f ( x ) {\displaystyle f(x)} é uma função classe C 1 {\displaystyle C^{1}} e

Existem muitas maneiras de expressar as EDPs, não sendo raro a mesma notação ter significados diferentes para autores diferentes. Notações bastante difundidas são para a derivada temporal são: ∂ u ∂ t = ∂ t u = u t = u ′ {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\partial _{t}u=u_{t}=u'} . Mais prolixas são as notações para as derivadas espaciais. Se u : R n → R {\displaystyle u:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } , onde x = ( x 1 , … , x n ) {\displaystyle \mathbf {x} =\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)} então também são usadas as notações por operadores: ∇ u = ( ∂ u ∂ x 1 , … , ∂ u ∂ x n ) {\displaystyle \nabla u=\left({\frac {\partial u}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial u}{\partial x_{n}}}\right)} : Gradiente ∇ 2 u = △ u = ∑ i = 1 n ∂ 2 u ∂ x i 2 {\displaystyle \nabla ^{2}u=\triangle u=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}} : Laplaciano Assim, a equação T t + v ⋅ ( ∇ T ) = △ T {\displaystyle T_{t}+\mathbf {v} \cdot \left(\nabla T\right)=\triangle T} , onde

As equações diferenciais parciais (EDP) de 2ª ordem podem ser classificadas em três tipos: hiperbólicas, parabólicas e elípticas. Se a solução de um problema for descrito pela variável u = u(x,y), a EDP que expressa a relação entre u e as variáveis independentes x e y pode ser escrita, genericamente, como: a u x x + 2 b u x y + c u y y + d u x + e u y + f u = g {\displaystyle au_{xx}+2bu_{xy}+cu_{yy}+du_{x}+eu_{y}+fu=g} na qual a, b, c, d, f e g são constantes ou funções das variáveis independentes x e y. Os coeficientes a, b e c são tais que: a 2 + b 2 + c 2 ≠ 0 {\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}\neq 0} . Se os coeficientes a, b e c forem constantes, pode-se classificar as EDPs lineares de forma análoga às curvas cônicas tridimensionais, através das seguintes relações: A classificação das EDPs nos três grupos representativos tem importância na sua análise teórica, na descrição de métodos numéricos e nas aplicações. A tabela a seguir mostra as principais EDP's de 2ª ordem e suas respectivas classificações:

As equações de derivadas parciais em que aparece uma única derivada, podem ser integradas facilmente. Consideremos, por exemplo, a equação ∂ 2 v ∂ x 2 = 3 y {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{v}}{\partial {x^{2}}}}=3y} como a segunda derivada em ordem a x {\displaystyle x} é igual à derivada da primeira derivada parcial em ordem a x {\displaystyle x} , portanto, a derivada parcial ∂ v / ∂ x {\displaystyle \partial v/\partial x} será igual à primitiva de 3 y {\displaystyle 3y} , ao longo de um percurso com y {\displaystyle y} constante ∂ v ∂ x = ∫ 3 y d x ( y constante ) = 3 x y + f ( y ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\partial {v} \over \partial x}&=\int 3ydx\qquad (y\;{\text{constante}})\\&=3xy+f(y)\end{aligned}}} onde f ( y ) {\displaystyle f(y)} pode ser qualquer função arbitrária que não dependa de x {\displaystyle x} . Integrando uma segunda vez, com y {\displaystyle y} constante, obtemos a função v ( x , y ) {\displaystyle v(x,y)}

As equações de derivadas parciais lineares com condições iniciais, podem ser resolvidas por meio da transformada de Laplace. As condições iniciais (na variável t {\displaystyle t} ) para uma equação de ordem n {\displaystyle n} em t {\displaystyle t} , consistem nos valores da função e das suas primeiras n − 1 {\displaystyle n-1} derivadas no instante t = 0 {\displaystyle t=0} . Se, por exemplo, a solução da equação for uma função de duas variáveis, v ( x , t ) {\displaystyle v(x,t)} , e a equação for de segunda ordem em t {\displaystyle t} , as condições iniciais serão v ( x , 0 ) = f ( x ) ∂ v ∂ t ( x , 0 ) = g ( x ) {\displaystyle {\begin{aligned}v(x,0)&=&f(x)\\{\partial v \over \partial t}(x,0)&=&g(x)\end{aligned}}} onde f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} são duas funções de x {\displaystyle x} dadas. A transformada de Laplace de v ( x , t ) {\displaystyle v(x,t)} será uma função v ¯ ( x , s ) {\displaystyle {\overline {v}}(x,s)} , definida por meio do seguinte integral