Fibrado principal

Um G {\displaystyle G} -fibrado principal é um fibrado π : P → X {\displaystyle \pi :P\to X} junto a uma ação contínuo à direita P × G → P {\displaystyle P\times G\to P} por um grupo topológico G {\displaystyle G} tal que G {\displaystyle G} preserva as fibras de P {\displaystyle P} e a ação é livre e transitiva. A fibra abstrata do fibrado é tomada como G {\displaystyle G} (muitas vezes requer que o espaço de base X {\displaystyle X} seja um espaço de Hausdorff e possivelmente paracompacto). Segue que as órbitas da G {\displaystyle G} -ação são precisamente as fibras do fibrado e o espaço de órbitas é homeomorfo ao espaço homogêneo P / G {\displaystyle P/G} . Um G {\displaystyle G} -fibrado principal pode também ser caracterizado como um G {\displaystyle G} -fibrado π : P → X {\displaystyle \pi :P\to X} com fibra G {\displaystyle G} onde o grupo da estrutura atua na fibra pela multiplicação à esquerda. Dado que a multiplicação à direita G {\displaystyle G} na fibra comuta com a ação do grupo estrutural, existe uma noção invariante de multiplicação à direita de G {\displaystyle G} sobre P {\displaystyle P} .

O exemplo mais comum de um fibrado principal diferenciável é o fibrado de referências, também chamado fibrado de marcos, de uma variedade M {\displaystyle M} . A fibra sobre um ponto x ∈ M {\displaystyle x\in M} é o sistema de todas as referências (ou seja, bases ordenadas) do espaço tangente T x M {\displaystyle T_{x}M} . O grupo linear geral G L ( n , R ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )} atua de forma simples e transitiva sobre o conjunto de bases. Estas fibras podem ser unidas de maneira natural para obter um G L ( n , R ) {\displaystyle GL(n,\mathbb {R} )} -fibrado principal sobre M {\displaystyle M} . Variações no exemplo anterior incluem o fibrado de referências ortonormais de uma variedade riemanniana. Aqui as referências devem ser bases ortonormais em relação à métrica. O grupo estrutural é o grupo ortogonal O ( n ) {\displaystyle O(n)} . Se X {\displaystyle X} é um espaço topológico e p : C → X {\displaystyle p:C\to X} é um recobrimento normal (regular), este último pode ser considerado um fibrado principal onde o grupo estrutural π 1 ( X ) / p ∗ π 1 ( C ) {\displaystyle \pi _{1}(X)/p_{*}\pi _{1}(C)} atua sobre C {\displaystyle C} via a ação de monodromia. Em particular, o recobrimento universal de um espaço topológico X {\displaystyle X} é um fibrado principal sobre X {\displaystyle X} com grupo estrutural π 1 ( X ) {\displaystyle \pi _{1}(X)} .

Uma das perguntas mais importantes em relação a um espaço fibrado é se se é ou não um fibrado trivial (ou seja, isomorfo a um fibrado produto). Para os fibrados principais há uma caracterização conveniente da trivialidade: Este resultado não é certo para fibrados em geral. Em particular os fibrados vetoriais, por exemplo, tem sempre a seção zero, sejam triviais ou não. O mesmo teorema se aplica às trivializações locais de fibrados principais. Seja π : P → X {\displaystyle \pi :P\to X} um G {\displaystyle G} -fibrado principal. Um conjunto aberto U {\displaystyle U} em X {\displaystyle X} admite uma trivialização local se e somente se existe uma seção local em U {\displaystyle U} . Dado uma trivialização local ϕ : π − 1 ( U ) → U × G {\displaystyle \phi :\pi ^{-1}(U)\to U\times G} podemos definir uma seção local associada : s : U → π − 1 ( U ) {\displaystyle s:U\to \pi ^{-1}(U)} , onde e {\displaystyle e} é a identidade em G {\displaystyle G} .

Se π : P → X {\displaystyle \pi :P\to X} é um G {\displaystyle G} -fibrado principal diferenciável, então G {\displaystyle G} atua em forma própria e livre em P {\displaystyle P} de modo que o espaço de órbitas P / G {\displaystyle P/G} é difeomorfo ao espaço base X {\displaystyle X} . Resulta que isto caracteriza completamente aos fibrados principais diferenciáveis. Isto é, se P {\displaystyle P} é uma variedade diferenciável, G {\displaystyle G} é um grupo de Lie e μ : P × G → P {\displaystyle \mu :P\times G\to P} uma ação à direita diferenciável, livre e própria então

Seja π : P → X {\displaystyle \pi :P\to X} um G {\displaystyle G} -fibrado principal. Dado um subgrupo H ⊂ G {\displaystyle H\subset G} , podemos considerar o fibrado P / H {\displaystyle P/H} cujas fibras são as coclasses G / H {\displaystyle G/H} . Se o novo fibrado admite uma seção global, dizemos que a seção é uma redução do grupo estrutural de G {\displaystyle G} ao de H {\displaystyle H} . Em particular, se H {\displaystyle H} é a identidade, então uma redução de G {\displaystyle G} à identidade é equivalente a ter-se uma seção global do fibrado original, o qual é equivalente a que o fibrado seja trivial. Em geral não existem as reduções do grupo estrutural. Muitas perguntas sobre a estrutura topológica de um fibrado podem ser reformuladas como perguntas sobre a admissibilidade da redução do grupo estrutural.