Esfera
A esfera pode ser definida como "uma sequência de pontos alinhados em todos os sentidos à mesma distância de um centro comum". É tida também como um sólido geométrico formado por uma superfície curva contínua, cujos pontos estão equidistantes de um outro fixo e interior chamado centro, ou seja: é uma superfície fechada de tal forma que todos os pontos dela estão à mesma distância de seu centro; ou ainda: de qualquer ponto de vista de sua superfície, a distância ao centro é a mesma. A esfera pode ser obtida através do movimento de rotação de um semicírculo em torno de seu diâmetro.
A área de uma superfície esférica é obtida pela fórmula: O volume de uma esfera é dado pela fórmula: onde r é o raio da esfera e π é a constante pi.
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Calota seria metaforicamente "a tampa de uma laranja", demonstrada pela parte azul no desenho. A c = 2 π ⋅ R ⋅ h {\displaystyle Ac=2\pi \cdot R\cdot h} A s = A t − A c {\displaystyle As=At-Ac} Em que, As é a área do segmento, At área total da esfera e, Ac área da calota. V = π ⋅ h 2 3 ⋅ ( 3 ⋅ R − h ) {\displaystyle V={\pi \cdot h^{2} \over 3}\cdot (3\cdot R-h)}
Fuso é uma parte da esfera, podendo ser representada por um "gomo de tangerina" (metaforicamente). Formalmente, o fuso é a interseção da superfície de uma esfera com um diedro cuja aresta contém um diâmetro da mesma. A f = α 360 ⋅ 4 π ⋅ r 2 {\displaystyle Af={\alpha \over 360}\cdot 4\pi \cdot r^{2}} α {\displaystyle \alpha } é o ângulo (em graus) do fuso. Uma cunha é a interseção de uma esfera com um diedro cuja aresta contém um diâmetro da esfera. V c = α 360 ⋅ 4 3 ⋅ π r 3 {\displaystyle Vc={\alpha \over 360}\cdot {4 \over 3}\cdot \pi r^{3}} Nota-se que a área e o volume da cunha podem ambos ser obtidos subtraindo-se os respectivos valores para o fuso do valor total para a esfera.
O volume de uma semi-esfera é igual a soma dos volumes de discos, concêntricos e de espessura infinitesimal, empilhados ao longo do eixo x, de x = r (y = 0) até x = 0 onde o disco tem raio r (y = r). Num dado x, o volume incremental (δV) é dado pelo produto da área transversal no ponto x pela largura (δx): O volume da semi-esfera é o somatório de todos os volumes dos discos infinitesimais. No limite em que δx se aproxima de zero fica: em toda a evolução de "x" o raio da esfera (r) é sempre constante formando um triângulo retângulo conectando x, y e r à origem, obedecendo ao teorema de Pitágoras: Que é o valor da semi-esfera. Dobrando este valor temos o volume total da esfera:
Uma vez provado o volume, podemos demonstrar a área da superfície a partir deste resultado (que se explica ao entender que uma esfera é a composição de "cascas de esfera" de espessura infinitesimal, "uma dentro da outra"): Usando a primeira parte do teorema fundamental do cálculo, onde F ( r ) = ∫ 0 r A ( r ) d r {\displaystyle F(r)=\int _{0}^{r}A(r)dr} , temos que F ′ ( r ) = A ( r ) {\displaystyle F'(r)=A(r)} , logo: A área também pode ser obtida usando coordenadas esféricas. Um elemento infinitesimal de área de superfície da esfera, em coordenadas esféricas é dado por:
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Em geometria analítica, uma esfera com centro (x0, y0, z0) e raio r é o lugar geométrico tal que:
