Difeomorfismo

Duas variedades diferenciáveis dizem-se difeomeomorfas se existir uma aplicação entre essas variedades que seja diferenciável, invertível e a sua inversa seja diferenciável. Seja f : M → N {\displaystyle f:M\rightarrow N} uma aplicação entre variedades diferenciáveis. Então f {\displaystyle f} diz-se um difeomorfismo se as funções ϕ i f ψ i − 1 {\displaystyle \phi _{i}f\psi _{i}^{-1}} forem invertíveis e tanto elas como as suas inversas tiverem derivadas de todas as ordens.

1 Seja M ⊂ R n {\displaystyle M\subset R^{n}} um subconjunto. Se f : M → R k {\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} ^{k}} é uma aplicação suave, então o gráfico de f {\displaystyle f} é difeomorfo a M {\displaystyle M} . 2 Para qualquer p ∈ S n {\displaystyle p\in S^{n}} , tem-se que S n p {\displaystyle {\frac {S^{n}}{p}}} é difeomorfo a R n {\displaystyle R^{n}} . Assim este difeomorfismo é a canônica aplicação estereográfica. 3 Sejam α : I → R 3 {\displaystyle \alpha :I\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} uma curva regular e s : I → α ( I ) = J {\displaystyle s:I\rightarrow \alpha (I)=J} a função comprimento de arco a partir de t 0 ∈ I {\displaystyle t_{0}\in I} . Então s : I → J {\displaystyle s:I\rightarrow J} é um difeomorfismo. 4 A aplicação h = X − 1 ∘ Y {\displaystyle h=X^{-1}\circ Y} : {\displaystyle :} Y − 1 ( W ) → X − 1 ( W ) {\displaystyle Y^{-1}(W)\rightarrow X^{-1}(W)} é um difeomorfismo C ∞ {\displaystyle C^{\infty }} .