Função inversa
Em matemática, a função inversa de uma função é, quando existe, a função tal que e . Ou seja, o que era domínio na função original vira imagem na função inversa, e o que era imagem na função original vira domínio.
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Seja f : R → R {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } uma função bijetiva definida por y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} . Resolvendo y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} para x {\displaystyle x} em função de y {\displaystyle y} , temos determinado uma função x = g ( y ) {\displaystyle x=g(y)} . Esta função é a função inversa de f {\displaystyle f} , i.e. g = f − 1 {\displaystyle g=f^{-1}} . Para determinarmos a inversa da função f ( x ) = x + 1 {\displaystyle f(x)=x+1} podemos proceder da seguinte forma:
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Dadas as funções f : A → B {\displaystyle f:A\to B} e g : B → A {\displaystyle g:B\to A} , diremos que g {\displaystyle g} é função inversa à esquerda de f {\displaystyle f} quando a função composta g ∘ f = i d A : A → A {\displaystyle g\circ f=id_{A}:A\to A} (id=função identidade), ou seja, quando g ( f ( x ) ) = x {\displaystyle g(f(x))=x} para todo x {\displaystyle x} pertencente ao conjunto A. Uma função f {\displaystyle f} possui inversa à esquerda se, e somente se, for injectiva. . Por exemplo, a função f : N → R {\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {R} } dada por f ( x ) = 2 x {\displaystyle f(x)=2x} , que é injetiva e não sobrejetiva, tem como inversa g ( x ) = x 2 {\displaystyle g(x)={\frac {x}{2}}} , porque a função composta ( g ∘ f ) ( x ) = g ( f ( x ) ) = 2 x 2 = x {\displaystyle (g\circ f)(x)=g(f(x))={\frac {2x}{2}}=x} para todo x ∈ N {\displaystyle x\in \mathbb {N} } , a qual é a função identidade.
