Função diferenciável

Uma função f : U → R {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} } , definida em um conjunto aberto U ⊂ R {\textstyle U\subset \mathbb {R} } , é dita diferenciável em a ∈ U {\displaystyle a\in U} se a derivada existir. Isso implica que a função é contínua em a. Diz-se que esta função f é diferenciável em U se for diferenciável em todos os pontos de U. Neste caso, a derivada de f é, portanto, uma função de U em R . {\displaystyle \mathbb {R} .} Uma função contínua não é necessariamente diferenciável, mas uma função diferenciável é necessariamente contínua (em todos os pontos onde é diferenciável), como mostrado abaixo (na seção Diferenciabilidade e continuidade). Diz-se que uma função é continuamente diferenciável se sua derivada também for uma função contínua; existem funções que são diferenciáveis, mas não continuamente diferenciáveis (um exemplo é dado na seção Classes de diferenciabilidade).

Se f é diferenciável em um ponto x0, então f também deve ser contínua em x0. Em particular, qualquer função diferenciável deve ser contínua em todos os pontos de seu domínio. O inverso não é verdadeiro: uma função contínua não precisa ser diferenciável. Por exemplo, uma função com uma dobra, cúspide ou tangente vertical pode ser contínua, mas falha em ser diferenciável no local da anomalia. A maioria das funções que ocorrem na prática possuem derivadas em todos os pontos ou em quase todos os pontos. No entanto, um resultado de Stefan Banach afirma que o conjunto de funções que possuem derivada em algum ponto é um conjunto de primeira categoria no espaço de todas as funções contínuas. Informalmente, isso significa que as funções diferenciáveis são muito atípicas entre as funções contínuas. O primeiro exemplo conhecido de uma função que é contínua em todos os lugares, mas diferenciável em lugar nenhum, é a Função de Weierstrass.

Uma função f {\textstyle f} é dita continuamente diferenciável se a derivada f ′ ( x ) {\textstyle f^{\prime }(x)} existir e for, ela mesma, uma função contínua. Embora a derivada de uma função diferenciável nunca tenha uma descontinuidade de salto, é possível que a derivada tenha uma descontinuidade essencial. Por exemplo, a função f ( x ) = { x 2 sen ⁡ ( 1 / x ) se x ≠ 0 0 se x = 0 {\displaystyle f(x)\;=\;{\begin{cases}x^{2}\operatorname {sen}(1/x)&{\text{ se }}x\neq 0\\0&{\text{ se }}x=0\end{cases}}} é diferenciável em 0, pois f ′ ( 0 ) = lim ε → 0 ( ε 2 sen ⁡ ( 1 / ε ) − 0 ε ) = 0 {\displaystyle f'(0)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left({\frac {\varepsilon ^{2}\operatorname {sen}(1/\varepsilon )-0}{\varepsilon }}\right)=0} existe. No entanto, para x ≠ 0 , {\displaystyle x\neq 0,} as regras de diferenciação implicam f ′ ( x ) = 2 x sen ⁡ ( 1 / x ) − cos ⁡ ( 1 / x ) , {\displaystyle f'(x)=2x\operatorname {sen}(1/x)-\cos(1/x)\;,} que não possui limite quando x → 0. {\displaystyle x\to 0.} Assim, este exemplo mostra a existência de uma função que é diferenciável, mas não continuamente diferenciável (ou seja, a derivada não é uma função contínua). No entanto, o teorema de Darboux implica que a derivada de qualquer função satisfaz a conclusão do Teorema do valor intermediário.

Uma função de várias variáveis reais f: Rm → Rn é dita diferenciável em um ponto x0 se existir uma aplicação linear J: Rm → Rn tal que Se uma função é diferenciável em x0, então todas as derivadas parciais existem em x0, e a aplicação linear J é dada pela Matriz jacobiana, uma matriz n × m neste caso. Uma formulação semelhante da derivada de dimensão superior é fornecida pelo Lema do incremento fundamental encontrado no cálculo de uma única variável. Se todas as derivadas parciais de uma função existem em uma vizinhança de um ponto x0 e são contínuas no ponto x0, então a função é diferenciável nesse ponto x0. No entanto, a existência das derivadas parciais (ou mesmo de todas as derivadas direcionais) não garante que uma função seja diferenciável em um ponto. Por exemplo, a função f: R2 → R definida por não é diferenciável em (0, 0), mas todas as derivadas parciais e direcionais existem neste ponto. Para um exemplo contínuo, a função

Na análise complexa, a diferenciabilidade complexa é definida usando a mesma definição das funções reais de uma única variável. Isso é permitido pela possibilidade de divisão de números complexos. Assim, uma função f : C → C {\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} } é dita diferenciável em x = a {\textstyle x=a} quando Embora esta definição pareça semelhante à diferenciabilidade de funções reais de uma variável, ela é, no entanto, uma condição mais restritiva. Uma função f : C → C {\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} } que é complexo-diferenciável em um ponto x = a {\textstyle x=a} é automaticamente diferenciável nesse ponto quando vista como uma função f : R 2 → R 2 {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}} . Isso ocorre porque a diferenciabilidade complexa implica que No entanto, uma função f : C → C {\textstyle f:\mathbb {C} \to \mathbb {C} } pode ser diferenciável como uma função multivariável, sem ser complexo-diferenciável. Por exemplo, f ( z ) = z + z ¯ 2 {\displaystyle f(z)={\frac {z+{\overline {z}}}{2}}} é diferenciável em todos os pontos, vista como a função real de 2 variáveis f ( x , y ) = x {\displaystyle f(x,y)=x} , mas não é complexo-diferenciável em nenhum ponto porque o limite lim h → 0 h + h ¯ 2 h {\textstyle \lim _{h\to 0}{\frac {h+{\bar {h}}}{2h}}} resulta em valores diferentes para diferentes caminhos de aproximação a 0.

Se M é uma variedade diferenciável, uma função f de valor real ou complexo em M é dita diferenciável em um ponto p se for diferenciável em relação a algum (ou qualquer) mapa de coordenadas definido em torno de p. Se M e N são variedades diferenciáveis, uma função f: M → N é dita diferenciável em um ponto p se for diferenciável em relação a alguns (ou quaisquer) mapas de coordenadas definidos em torno de p e f(p).