Derivada parcial

Suponha-se que ƒ é uma função de mais de uma variável. Para obter-se uma instância, z = f ( x , y ) = x 2 + x y + y 2 . {\displaystyle z=f(x,y)=\,\!x^{2}+xy+y^{2}.\,} O gráfico desta função define uma superfície no espaço euclidiano. Para cada ponto sobre esta superfície, há um número infinito de linhas tangenciais. Diferenciação parcial é o ato de escolher uma dessas linhas e encontrar o seu declive. Normalmente, as linhas de maior interesse são aquelas que são paralelas ao plano xz, e aquelas que são paralelos ao plano yz(que resultam da exploração ou y ou x constante, respectivamente.) Para determinar o declive da linha tangente à função de P (1, 1, 3) que é paralela ao plano xz, o y variável é tratado como constante. O gráfico e este plano são mostrados à direita. No gráfico abaixo, vemos a forma como a função se comporta y = 1. Ao encontrar a derivada da equação assumindo que y é uma constante, e o declive ƒ no ponto(x, y, z) é:

A derivada parcial de uma função de n argumentos ( x 1 , . . . , x n ) {\displaystyle (x_{1},...,x_{n})} pode ser representada através de um limite como sendo ∂ f ∂ x i ( x 1 , … , x n ) = lim h → 0 f ( x 1 , … , x i + h , … , x n ) − f ( x 1 , … , x n ) h . {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x_{1},\ldots ,x_{i}+h,\ldots ,x_{n})-f(x_{1},\ldots ,x_{n})}{h}}.} A função f pode ser reinterpretada como uma família de funções de uma variável indexada pelas outras variáveis​​: Em outras palavras, a cada valor de x define uma função, denotada fx, que é uma função de uma variável. Isto é, f x ( y ) = x 2 + x y + y 2 . {\displaystyle f_{x}(y)=x^{2}+xy+y^{2}.\,} Uma vez que o valor de x é escolhido, em seguida, f ( x, y) determina a função fa que envia y para a 2 + ay + y 2 f a ( y ) = a 2 + a y + y 2 . {\displaystyle f_{a}(y)=a^{2}+ay+y^{2}.\,}

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Um exemplo importante de uma função de várias variáveis ​​é o caso de um campo escalar f(x1,...xn) em um domínio no espaço Euclidiano Rn (e.g., on R2 or R3). Neste caso f tem uma derivada parcial ∂f/∂xj com relação a cada variável xj. No ponto a, estas derivadas parciais definem o vector ∇ f ( a ) = ( ∂ f ∂ x 1 ( a ) , … , ∂ f ∂ x n ( a ) ) . {\displaystyle \nabla f(a)=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a),\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\right).} Este vector é denominado gradiente de f em a. Se f é diferenciável em todos os pontos de algum domínio, então o gradiente é uma função vetorial de valor ∇f que leva o ponto a para o vetor ∇f(a). Consequentemente, o gradiente produz um campo vetorial. Um problema comum de notação é definir o operador nabla (∇) ,como se apresenta em três dimensões espaciais euclidianas R3 com vetores unitários i ^ , j ^ , k ^ {\displaystyle \mathbf {\hat {i}} ,\mathbf {\hat {j}} ,\mathbf {\hat {k}} } :

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Como derivadas comuns, a derivada parcial é definida como sendo um limite. Sendo U um conjunto aberto de Rn e f : U → R uma função. A derivada parcial de f no ponto a = (a1, ..., an) ∈ U com relação à i- a variável ai é definida como ∂ ∂ a i f ( a ) = lim h → 0 f ( a 1 , … , a i − 1 , a i + h , a i + 1 , … , a n ) − f ( a 1 , … , a i , … , a n ) h {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim _{h\rightarrow 0}{f(a_{1},\dots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\dots ,a_{n})-f(a_{1},\dots ,a_{i},\dots ,a_{n}) \over h}} Mesmo se todas as derivados parciais ∂f/∂ai(a) existirem em um determinado ponto a, a função não necessita de ser contínua. No entanto, se todos as derivadas parciais existirem numa vizinhança de a e são contínuas, então f é o total derivado em que a derivada da vizinhança total é contínua. Neste caso, diz-se que f é uma C1 função. Isto pode ser utilizado para generalizar funções vetoriais (f : U → R'm) com cuidado usando um argumento componente a componente.

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Para os exemplos a seguir, deixe f {\displaystyle {\displaystyle f}} ser uma função em x , y {\displaystyle {\displaystyle x,y}} e z {\displaystyle {\displaystyle z}} . ∂ f ∂ x = f x = ∂ x f . {\displaystyle {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f_{x}=\partial _{x}f.}} ∂ 2 f ∂ x 2 = f x x = ∂ x x f = ∂ x 2 f . {\displaystyle {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.}} ∂ 2 f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y ( ∂ f ∂ x ) = ( f x ) y = f x y = ∂ y x f = ∂ y ∂ x f . {\displaystyle {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f_{x})_{y}=f_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.}} Derivadas parciais e mistas de ordem superior: ∂ i + j + k f ∂ x i ∂ y j ∂ z k = f ( i , j , k ) = ∂ x i ∂ y j ∂ z k f . {\displaystyle {\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.}}

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Existe um conceito para derivadas parciais que é análogo às antiderivadas para derivadas regulares. Dada uma derivada parcial, ela permite a recuperação parcial da função original. ∂ z ∂ x = 2 x + y . {\displaystyle {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=2x+y.}} A integral "parcial" pode ser tomada com respeito a x (tratando y como constante, de maneira semelhante à diferenciação parcial): z = ∫ ∂ z ∂ x d x = x 2 + x y + g ( y ) {\displaystyle {\displaystyle z=\int {\frac {\partial z}{\partial x}}\,dx=x^{2}+xy+g(y)}} Aqui, a constante de integração não é mais uma constante, mas uma função de todas as variáveis da função original, exceto x. A razão disso é que todas as outras variáveis são tratadas como constantes quando se toma a derivada parcial, portanto, qualquer função que não envolva x {\displaystyle {\displaystyle x}} desaparecerá quando se toma a derivada parcial, e temos que levar isso em conta quando tomamos o antiderivado. A forma mais geral de representar isto é ter a "constante" representando uma função desconhecida de todas as outras variáveis.

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As derivadas parciais de segunda e maior ordem são definidas de forma análoga às derivadas de ordem superior de funções univariadas. Para a função f ( x , y , . . . ) {\displaystyle {\displaystyle f(x,y,...)}} a "própria" segunda derivada parcial com respeito a x é simplesmente a derivada parcial da derivada parcial (ambas com respeito a x) ∂ 2 f ∂ x 2 ≡ ∂ ∂ f / ∂ x ∂ x ≡ ∂ f x ∂ x ≡ f x x . {\displaystyle {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial x}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial x}}\equiv f_{xx}.}} A derivada parcial cruzada em relação a x e y é obtida tomando a derivada parcial de f em relação a x, e depois tomando a derivada parcial do resultado em relação a y, para obter ∂ 2 f ∂ y ∂ x ≡ ∂ ∂ f / ∂ x ∂ y ≡ ∂ f x ∂ y ≡ f x y . {\displaystyle {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\equiv \partial {\frac {\partial f/\partial x}{\partial y}}\equiv {\frac {\partial f_{x}}{\partial y}}\equiv f_{xy}.}}