Campo conservativo
Em cálculo de várias variáveis, um campo vetorial conservativo é um campo vetorial que é o gradiente de um campo escalar. Campos conservativos têm a propriedade de sua integral de linha apresentar independência de caminho, ou seja, a escolha de qualquer caminho entre dois pontos não altera o valor de sua integral de linha. Exemplos de campos conservativos são a gravidade e um campo elétrico fora da ação de campos magnéticos. Esse artigo descreve o caso matematicamente mais simples de campos vetoriais conservativos do e a importância do potencial na descrição de sistemas físicos.
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Um campo vetorial F → {\displaystyle {\vec {F}}} é chamado de campo vetorial conservativo se e somente se existe uma função escalar φ {\displaystyle \varphi } , chamada de potencial, de tal forma que o gradiente de φ {\displaystyle \varphi } seja F → {\displaystyle {\vec {F}}} ( F → = ∇ φ {\displaystyle {\vec {F}}=\nabla \varphi } ). Isso implica que qualquer campo gradiente, da forma F → = ∇ φ {\displaystyle {\vec {F}}=\nabla \varphi } , é um campo conservativo.
Demonstração
φ ( x 0 , y 0 , z 0 ) = ∫ 0 x 0 F 1 ( x , 0 , 0 ) d x + ∫ 0 y 0 F 2 ( x 0 , y , 0 ) d y + ∫ 0 z 0 F 3 ( x 0 , y 0 , z ) d z {\displaystyle \varphi (x_{0},y_{0},z_{0})=\int _{0}^{x_{0}}F_{1}(x,0,0)\,dx+\int _{0}^{y_{0}}F_{2}(x_{0},y,0)\,dy+\int _{0}^{z_{0}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz} ∂ φ ∂ z 0 = ∂ φ ∂ z 0 ∫ 0 x 0 F 1 ( x , 0 , 0 ) d x + ∂ φ ∂ z 0 ∫ 0 y 0 F 2 ( x 0 , y , 0 ) d y + ∂ φ ∂ z 0 ∫ 0 z 0 F 3 ( x 0 , y 0 , z ) d z {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}={\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\int _{0}^{x_{0}}F_{1}(x,0,0)\,dx+{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\int _{0}^{y_{0}}F_{2}(x_{0},y,0)\,dy+{\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}\int _{0}^{z_{0}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz} ∂ φ ∂ z 0 = 0 + 0 + F 3 ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}=0+0+F_{3}(x_{0},y_{0},z_{0})} (Teorema Fundamental do Cálculo) Analogamente: ∂ φ ∂ y 0 = 0 + F 2 ( x 0 , y 0 , 0 ) + ∂ φ ∂ y 0 ∫ 0 z 0 F 3 ( x 0 , y 0 , z ) d z {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}=0+F_{2}(x_{0},y_{0},0)+{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\int _{0}^{z_{0}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz} onde ∂ φ ∂ y 0 ∫ 0 z 0 F 3 ( x 0 , y 0 , z ) d z = ∫ 0 z 0 ∂ φ ∂ y 0 F 3 ( x 0 , y 0 , z ) d z {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}\int _{0}^{z_{0}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz=\int _{0}^{z_{0}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz} e, usando que, para campos conservativos ∇ × F = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =0} temos que ∂ F 3 ∂ y 0 = ∂ F 2 ∂ z 0 {\displaystyle {\frac {\partial F_{3}}{\partial y_{0}}}={\frac {\partial F_{2}}{\partial z_{0}}}} Logo: ∫ 0 z 0 ∂ φ ∂ y 0 F 3 ( x 0 , y 0 , z ) d z = ∫ 0 z 0 ∂ φ ∂ z F 2 ( x 0 , y 0 , z ) d z = F 2 ( x 0 , y 0 , z 0 ) − F 2 ( x 0 , y 0 , 0 ) {\displaystyle \int _{0}^{z_{0}}{\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz=\int _{0}^{z_{0}}{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}F_{2}(x_{0},y_{0},z)\,dz=F_{2}(x_{0},y_{0},z_{0})-F_{2}(x_{0},y_{0},0)} E ∂ φ ∂ y 0 = F 2 ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}=F_{2}(x_{0},y_{0},z_{0})} Agora, olhando para x 0 {\displaystyle x_{0}} ∂ φ ∂ x 0 = F 1 ( x 0 , 0 , 0 ) + ∂ φ ∂ x 0 ∫ 0 y 0 F 2 ( x 0 , y , 0 ) d y + ∂ φ ∂ x 0 ∫ 0 z 0 F 3 ( x 0 , y 0 , z ) d z {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}=F_{1}(x_{0},0,0)+{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\int _{0}^{y_{0}}F_{2}(x_{0},y,0)\,dy+{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}\int _{0}^{z_{0}}F_{3}(x_{0},y_{0},z)\,dz} Analogamente a ∂ φ ∂ y 0 {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}} ∂ φ ∂ x 0 = F 1 ( x 0 , 0 , 0 ) + ∂ φ ∂ y ∫ 0 y 0 F 1 ( x 0 , y , 0 ) d y + ∂ φ ∂ z ∫ 0 z 0 F 1 ( x 0 , y 0 , z ) d z {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}=F_{1}(x_{0},0,0)+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\int _{0}^{y_{0}}F_{1}(x_{0},y,0)\,dy+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\int _{0}^{z_{0}}F_{1}(x_{0},y_{0},z)\,dz} ∂ φ ∂ x 0 = F 1 ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}=F_{1}(x_{0},y_{0},z_{0})} Então, se ∂ φ ∂ x 0 = F 1 ( x 0 , y 0 , z 0 ) , {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x_{0}}}=F_{1}(x_{0},y_{0},z_{0}),} ∂ φ ∂ y 0 = F 2 ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial y_{0}}}=F_{2}(x_{0},y_{0},z_{0})} e ∂ φ ∂ z 0 = F 3 ( x 0 , y 0 , z 0 ) {\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial z_{0}}}=F_{3}(x_{0},y_{0},z_{0})} ∇ φ = F {\displaystyle \nabla \varphi =F}
Pode-se mostrar facilmente que, para qualquer campo conservativo: isto é, todo campo vetorial conservativo é irrotacional. Na linguagem de formas diferenciais isso é uma consequência da nilpotência da derivada exterior d 2 = 0 {\displaystyle \displaystyle d^{2}=0} nos mostra que toda forma exata é fechada. A recíproca desse teorema sempre vale localmente, como provado pelo Lema de Poincaré, mas globalmente depende do primeiro grupo de cohomologia de de Rham: No caso considerado aqui, H d R 1 ( R 3 ) = 0 {\displaystyle H_{dR}^{1}(\mathbb {R} ^{3})=0} e toda forma fechada é exata ou, todo campo vetorial irrotacional é conservativo. Numa região de R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} que não seja simplesmente conexa, isto é, que não seja homotopicamente equivalente ao todo R 3 {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} , isso não é mais verdade. Um caso interessante é a corda de Dirac R 3 − { ( 0 , 0 , z ) | z ∈ R } {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}-\{(0,0,z)~|~z\in \mathbb {R} \}} que está relacionada ao conceito de monopolo magnético e quantização de carga elétrica.
Seja F → {\displaystyle {\vec {F}}} um campo vetorial conservativo, ou seja , F → = ▽ → φ {\displaystyle {\vec {F}}={\vec {\bigtriangledown }}\varphi } , definido em uma região R do espaço e uma curva C, dada por r → ( t ) = x ( t ) i → + y ( t ) j → + z ( t ) k → {\displaystyle {\vec {r}}(t)=x(t){\vec {i}}+y(t){\vec {j}}+z(t){\vec {k}}} , contínua por partes em R, com início em p 0 ( x o , y o , z o ) {\displaystyle p_{0}(x_{o},y_{o},z_{o})} e extremidade em P ( x , y , z ) {\displaystyle P(x,y,z)} , então: ∫ C F → c o n s ⋅ d r → = φ ( x , y , z ) − φ ( x o , y o , z o ) {\displaystyle \int _{C}^{}{\vec {F}}_{cons}\centerdot d{\vec {r}}=\varphi (x,y,z)-\varphi (x_{o},y_{o},z_{o})} F → c o n s = ∇ → φ = ∂ φ ∂ x i → + ∂ φ ∂ y j → + ∂ φ ∂ z k → {\displaystyle {\vec {F}}_{cons}={\vec {\nabla }}\varphi ={\partial \varphi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \varphi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \varphi \over \partial z}{\vec {k}}}
F → ( x , y ) = 2 x y 3 i → + ( 1 + 3 x 2 y 2 ) j → {\displaystyle {\vec {F}}(x,y)=2xy^{3}{\vec {i}}+(1+3x^{2}y^{2}){\vec {j}}} calcular o trabalho ( W {\displaystyle W} ) realizado para deslocar uma partícula de P 1 ( 1 , 4 ) {\displaystyle P_{1}(1,4)} até P 2 ( 3 , 1 ) {\displaystyle P_{2}(3,1)} : Primeiro, verificamos se F → ( x , y ) {\displaystyle {\vec {F}}(x,y)} é conservativo. ∇ → × F → = | i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z 2 x y 3 1 + 3 x 2 y 2 F z | = 0 → {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}=\left|{\begin{matrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\&&\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\&&\\2xy^{3}&1+3x^{2}y^{2}&F_{z}\end{matrix}}\right|={\vec {0}}} Como ∇ → × F → = 0 → {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {F}}={\vec {0}}} , o campo é conservativo, logo, permite uma função potencial dada por F → = − ∇ → φ {\displaystyle {\vec {F}}=-{\vec {\nabla }}\varphi }
Mecânica
Se, em mecânica newtoniana, um campo de forças for um campo vetorial conservativo, então, partindo da segunda lei de Newton e usando a regra da cadeia, podemos escrever: onde T = m 2 ( d x d t ) 2 {\displaystyle T={\frac {m}{2}}\left({\frac {d\mathbf {x} }{dt}}\right)^{2}} é a energia cinética e E = T + V {\displaystyle \displaystyle E=T+V} é a energia total, que a igualdade acima mostra ser constante. O conceito de independência de caminho mostra que o trabalho realizado por uma força conservativa em qualquer circuito fechado é sempre igual a zero e que num caminho qualquer só depende dos pontos inicial e final: Alguns exemplos de forças conservativas são:
Eletromagnetismo
As equações de Maxwell, especificamente ∇ × E = − ∂ B ∂ t {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial {t}}}} , mostram que o campo eletroestático é irrotacional e então, nas condições descritas acima, é um campo conservativo, ou seja, ∇ × E = − ∂ B ∂ t = 0 {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial {t}}}=0} . As curvas de nível do potencial elétrico V = c t e {\displaystyle \displaystyle V=cte} são chamadas de curvas equipotenciais. Em particular, a força elétrica F = q E {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {E} } é uma força conservativa. A relatividade restrita nos mostra que, mesmo abandonando a hipótese de campos estáticos, os campos elétricos e magnéticos podem ser descritos como uma forma fechada. Mas localmente não como a derivada de uma 0-forma e sim de uma 1-forma do espaço de Minkowski. Efeitos como o efeito Aharanov-Bohm mostram que o conceito de potencial é fisicamente mais fundamental que o da sua derivada (neste caso, o campo eletromagnético; para o caso de forças, veja abaixo).
Mecânica quântica
Em mecânica quântica, o conceito de força é abandonado em detrimento do conceito de potencial. Nesse sentido, o potencial passa a ter um papel mais fundamental que a força e todas as interações são consideradas conservativas. Interações dissipativas passam a ser descritas através de sistemas quânticos abertos. A função de onda é calculada através da equação de Schrödinger A função de onda para os dois casos de forças potenciais vistas acima são as famosas soluções do átomo de hidrogênio e do oscilador harmônico.
