Cálculo vetorial
Cálculo vetorial configura uma área da matemática que trata da diferenciação e integração de campos vectoriais, geralmente no espaço euclidiano, . O termo "Cálculo vectorial" frequentemente é usado erroneamente como sinônimo de cálculo multivariável, área que o abrange, assim como diferenciação parcial e integrais múltiplas. O Cálculo vectorial possui um importante papel na geometria diferencial e no estudo de equações diferenciais parciais. Ele é extensivamente utilizado em Física e Engenharia, mais explicitamente na descrição de campos eletromagnéticos, campos gravitacionais e mecânica dos fluidos.
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O Cálculo vectorial foi desenvolvido a partir da análise quaterniônica por Josiah W. Gibbs e Oliver Heaviside em torno do final do século 19. Grande parte de sua notação e terminologia foi estabelecida por Gibbs e Edwin B. Wilson, em seu livro Vector Analysis, publicado em 1901.
Campo escalar
Um campo escalar associa um escalar a todo ponto no espaço. O escalar pode ser tanto um número matemático ou uma quantidade física.Campos escalares têm de ser independentes de coordenadas, significando que quaisquer dois observadores usando o mesmo sistema de unidades concordarão no valor do campo em um mesmo ponto absoluto no espaço (ou espaço tempo) quaisquer que sejam seus respectivos pontos de origem. Campos escalares são comumente representados pelos campos de temperatura, pressão, potencial gravitacional, potencial elétrico e magnético.
Campo vectorial
Um campo vectorial ou campo de vectores é uma construção em cálculo vectorial que associa um vector a todo ponto de uma variedade diferenciável (como um subconjunto do espaço euclidiano, por exemplo). Isso é, um campo de vectores é uma função vectorial que associa um vector a cada ponto P ( x , y , z ) {\displaystyle P(x,y,z)} do espaço x y z {\displaystyle xyz} , generalizadamente dada por F → ( x , y , z ) = f ( x , y , z ) i → + g ( x , y , z ) j → + h ( x , y , z ) k → {\displaystyle {\displaystyle \mathbf {\vec {F}} (x,y,z)=f(x,y,z)\mathbf {\vec {i}} +g(x,y,z)\mathbf {\vec {j}} +h(x,y,z)\mathbf {\vec {k}} }} . Campos vectoriais são geralmente utilizados na física para indicar, por exemplo, a velocidade e a direção de um fluido ou um corpo se movendo pelo espaço, ou o comprimento e direção de alguma força, tal como a força magnética ou gravitacional, bem como o campo elétrico E → ( x , y , z , t ) {\displaystyle {\overrightarrow {E}}(x,y,z,t)} e o campo magnético B → ( x , y , z , t ) {\displaystyle {\overrightarrow {B}}(x,y,z,t)} relacionando as componentes ponto a ponto.
Vectores e pseudo vectores
Em tratamentos mais rigorosos, pode-se distinguir campos pseudovectoriais e campos pseudoescalares, os quais são idênticos a campos vectoriais e campos escalares, com a exceção de que seus sinais são trocados sob uma circunstância de reversão de orientação. O rotacional de um campo vectorial, por exemplo, é considerado um campo pseudovectorial e, se seu sinal é alterado, o rotacional apontará na direção oposta. Essa distinção é esclarecida e elaborada na álgebra geométrica, como descrita abaixo.
As operações algébricas em Cálculo vectorial são referidas como álgebra vectorial, sendo definida para um espaço vectorial e globalmente aplicada a um campo vectorial. As operações algébricas elementares são:
Artigo principal: Identidades do cálculo vectorial
Operadores diferenciais
Artigo principal: Gradiente, Divergente, Rotacional e Laplaciano O cálculo vectorial estuda diferentes operadores diferenciais definidos em campos escalares ou vectoriais, que geralmente são expressados em termos do operador del ( ∇ → {\displaystyle {\vec {\nabla }}} ), também conhecido como "nabla". Os três operadores vectoriais elementares são: Um campo vetorial F diz-se conservativo quando existe um campo escalar ψ {\displaystyle \psi } tal que F → c o n s = ∇ ψ {\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{cons}=\nabla \psi } . Diz-se, neste caso, que ψ {\displaystyle \psi } é o potencial associado a F . Um campo vetorial F diz-se solenoidal quando ∇ . F = 0 {\displaystyle \nabla .F=0} . E se F é solenoidal, existe um campo vetorial A tal que F = ∇ × A {\displaystyle F=\nabla \times A} .
Teoremas de integrais
Os três operadores vectoriais elementares possuem teoremas correspondentes que generalizam o teorema fundamental do cálculo para dimensões superiores: Em duas dimensões, os teoremas da Divergência e do rotacional reduzem-se ao Teorema de Green:
Aproximação linear
A Aproximação linear consiste em um recurso utilizado que substitui uma função de maior complexidade por outra função, linear, que apresenta uma imagem semelhante na vizinhança do ponto analisado. Dada uma função diferenciável f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} com valores reais, é possível aproximar f ( x , y ) {\displaystyle f(x,y)} para ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} próximo de ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} através da relação f ( x , y ) ≈ f ( a , b ) + ∂ f ( a , b ) ∂ x ( x − a ) + ∂ f ( a , b ) ∂ y ( y − b ) {\displaystyle f(x,y)\approx f(a,b)+{{\partial f(a,b) \over \partial x}(x-a)}+{{\partial f(a,b) \over \partial y}(y-b)}} . O lado direito representa a equação do plano tangente ao gráfico de z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} em ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} .
Otimização
Para uma função continuamente diferenciável de múltiplas variáveis reais, um ponto P {\displaystyle P} configura um ponto crítico se todas as derivadas parciais da função em P são iguais a zero ou, em outras palavras, se o seu gradiente é nulo. Os valores críticos são os valores da função nos pontos críticos. Se a função é suave, ou pelo menos continuamente diferenciável duas vezes, o ponto crítico pode ser tanto um máximo local, um mínimo local ou um ponto de sela.
Gradiente de um Campo
O conceito de gradiente na Física está intrinsecamente associado ao conceito de campos conservativos e de função potencial, na matemática também se define campo vetorial conservativo. No que se refere à Física, temos campos conservativos relacionados a campos que conservam a energia do sistema, ou seja, não há perdas de energia, a exemplo de dissipação por atrito ou efeito joule. Dessa forma, dada uma função potencial ψ ( x , y , z ) {\displaystyle \psi (x,y,z)} , basta calcular o gradiente do mesmo para encontrar o campo conservativo associado à ψ {\displaystyle \psi } . F → c o n s = ∇ ψ {\displaystyle {\overrightarrow {F}}_{cons}=\nabla \psi } .
Modelo de Condução Térmica
O fluxo de calor q” (taxa de calor por unidade de área) depende da área onde ele cruza, portanto possui uma natureza vetorial. A taxa de calor por unidade de área que cruza uma superfície cuja normal é n, é função do gradiente de temperatura, d T d n {\displaystyle {dT \over dn}} , e da constante de proporcionalidade, k . q ″ ˙ → = Q A ˙ → = − k ∂ T ∂ n {\displaystyle {\vec {\dot {q''}}}={\vec {\dot {\frac {Q}{A}}}}=-k\ {\partial T \over \partial n}} Como temos fluxo de calor na direção x e na direção y podemos escrever: q ″ ˙ → = − i → q x ″ ˙ → − j → q y ″ ˙ → {\displaystyle {\vec {\dot {q''}}}=-{\vec {i}}{\vec {\dot {qx''}}}-{\vec {j}}{\vec {\dot {qy''}}}}
Modelo de Transferência de massa
A equação diferencial governante é obtida fazendo um balanço diferencial sobre um elemento cartesiano. {taxa molar de a que entra no volume de controle} - {taxa molar de a que sai do volume de controle} + {taxa molar de a gerada no volume de controle} = { taxa molar de a que acumula no volume de controle}. ( N a , x | x d y d z ) − ( N a , x | x + d x d y d z ) + ( N a , y | y d x d z ) − ( N a , y | y + d y d x d z ) + ( N a , z | z d x d y ) − ( N a , z | z + d z d x d y ) + R a ‴ d x d y d z = ∂ C a ∂ t d x d y d z {\displaystyle (N_{a,x|x}dydz)-(N_{a,x|x+dx}dydz)+(N_{a,y|y}dxdz)-(N_{a,y|y+dy}dxdz)+(N_{a,z|z}dxdy)-(N_{a,z|z+dz}dxdy)+Ra'''dxdydz={\frac {\partial C_{a}}{\partial t}}dxdydz}
Física e engenharia
Cálculo vectorial é especialmente útil no estudo de:
