Sistema dinâmico não linear
Um sistema dinâmico não linear é um sistema determinista, cujo comportamento futuro é previsível segundo a Teoria do Caos, se as condições iniciais do sistema forem perfeitamente conhecidas. A alta sensibilidade às condições inciais, porém, dá ao sistema não linear a característica de instabilidade, o que faz com que seja incorretamente confundido com um sistema aleatório. Enquanto o comportamento futuro do sistema não linear pode ser determinado se as condições iniciais forem perfeitamente conhecidas, o mesmo não ocorre com um sistema aleatório. Embora um sistema não linear evolua no tempo com um comportamento instável e aperiódico, tal comportamento é determinístico, pois seu estado futuro pode ser conhecido, desde que conhecido o seu estado atual. O estado futuro pode, porém, ser radicalmente modificado a partir de pequenas mudanças no estado atual. A dificuldade de se conhecer o estado presente com exatidão leva à necessidade de modelar o sistema não linear como aleatório, em algumas situações, quando os detalhes do comportamento não são de interesse, embora ele seja, na realidade, determinístico.
Os sistemas dinâmicos não lineares podem ser exemplificados com movimentos econômicos da economia mundial, movimentos atmosféricos, ou meteorológicos, além de outros. A característica principal dos sistemas dinâmicos não lineares é a caoticidade, relativo ao comportamento caótico.
Um exemplo típico é a geometria fractal que inicialmente foi desenvolvida como ferramenta matemática para uso estatístico na economia. Após certo tempo, houve pesquisas que relacionaram os fractais às complexidades. Estas, por sua vez, comprovaram que os sistemas econômicos são dinâmicos e sua evolução leva a previsão futura ser extremamente dependente do comportamento passado, demonstrando assim uma não linearidade.
O comportamento não linear, pelo fato de ser dinâmico evolui no tempo através de realimentações que vão sendo inseridas à medida que avança o sistema e, ao avançar é influído por realimentações, positivas ou negativas, que por sua vez redundam em novas realimentações que influem no sistema regulando-o ora construtivamente, ora destrutivamente.
No caso dos sistemas dinâmicos lineares, existem respostas ordenadas e lisas (À exemplo de um tecido liso) onde os eventos futuros ocorrem dentro de margens estatísticas previsíveis. No caso dos sistemas dinâmicos não lineares, as respostas podem ser consideradas também ordenadas (Pode-se dizer que existe um tecido também), mas as resultantes futuras dos eventos não são lisas, ao contrário, são ásperas, pois, suas superfícies são extremamente corrugadas, isto é, os resultados são caóticos, contradizentes, porém, sempre haverá um padrão reconhecível, mas nunca estático, sempre dinâmico, isto é, variável no domínio do tempo.
Na teoria do caos é utilizado um exemplo prático bastante ilustrativo da dinâmica dos sistemas lineares e não lineares: Imagine uma pedra atirada numa piscina de águas límpidas e extremamente estáticas, as ondas geradas na queda da pedra se propagam até as margens de forma ordenada e sequencial, refletem nas paredes da borda e retornam, cruzando-se entre si e, portanto, interagindo, se realimentando, ora positivamente, ora negativamente.
Sistema de previsibilidade linear
As ondas continuam seu trajeto já distorcidas pelas realimentações, (em direção às margens opostas), sofrendo ainda mais e mais interações ocasionadas pelos entrecruzamentos, que geram mais realimentações. Neste momento começam a ocorrer alguns movimentos "aparentemente" caóticos, mas ainda previsíveis, pois são padrões das ondas, o sistema ainda pode-se dizer "linear".
Sistema de previsibilidade não linear
Ao avançar do tempo, a piscina já está com bastante movimento em sua superfície, se continuarmos jogando pedras com tamanhos e formas diferentes aleatoriamente, (quanto mais pedras diferentes forem atiradas, mais realimentações e reflexões acontecerão), mais caótico será o padrão das ondas "na superfície", assim, mais difícil será o reconhecimento de um "padrão" estático. Imaginemos que no fundo desta piscina exista camada de areia finíssima (à exemplo de uma laguna), apesar dos movimentos aleatórios na superfície da piscina, no fundo haverá determinados padrões nesta areia, caóticos sim, mas seguirão sempre a um padrão de ondas de diversas formas, tamanhos, alturas, etc. Estas mudarão à medida que o corrugamento da superfície muda, porém, apesar de todo o caos dos movimentos na parte superior, é reconhecido um padrão naquela areia no fundo ocasionado pelos movimentos da água. Este padrão é a resultante das inserções aleatórias no movimento que redundam num "sistema dinâmico não linear".
Um sistema autônomo, não linear, de segunda ordem, é definido por duas equações diferenciais x ˙ = f ( x , y ) y ˙ = g ( x , y ) . {\displaystyle {\begin{array}{l}{\dot {x}}=f(x,y)\\{\dot {y}}=g(x,y)\end{array}}.} onde as funções f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} não são simples combinações lineares das variáveis x {\displaystyle x} e y . {\displaystyle y.} Não existem técnicas analíticas gerais para resolver esse tipo de equações. Os métodos numéricos apresentam mais problemas neste caso, do que no caso das equações lineares. No entanto, a análise gráfica no espaço de fase pode fornecer muita informação sobre o comportamento do sistema. É essencial começar por identificar os pontos fixos. Na próxima secção veremos que na região perto de cada ponto fixo o sistema comporta-se de forma semelhante a um sistema linear.
Linearização
As duas funções f {\displaystyle f} e g {\displaystyle g} podem ser escritas na forma de uma série de Taylor: f ( x , y ) = f ( u , v ) + ( x − u ) ∂ f ∂ x | ( u , v ) + ( y − v ) ∂ f ∂ y | ( u , v ) + … {\displaystyle f(x,y)=f(u,v)+(x-u)\left.{\frac {\partial f}{\partial x}}\right|_{(u,v)}+(y-v)\left.{\frac {\partial f}{\partial y}}\right|_{(u,v)}+\ldots } g ( x , y ) = g ( u , v ) + ( x − u ) ∂ g ∂ x | ( u , v ) + ( y − v ) ∂ g ∂ y | ( u , v ) + … {\displaystyle g(x,y)=g(u,v)+(x-u)\left.{\frac {\partial g}{\partial x}}\right|_{(u,v)}+(y-v)\left.{\frac {\partial g}{\partial y}}\right|_{(u,v)}+\ldots } Na vizinhança do ponto ( u , v ) , {\displaystyle (u,v),} os 3 termos apresentados nas duas séries acima constituem uma boa aproximação ao valor real da função. Se ( u , v ) , {\displaystyle (u,v),} for um ponto fixo do sistema, f ( u , v ) {\displaystyle f(u,v)} e g ( u , v ) {\displaystyle g(u,v)} serão nulas e, portanto, o primeiro termo de cada série desaparecerá. Mudando a origem de coordenadas para o ponto fixo ( u , v ) , {\displaystyle (u,v),} isto é, num sistema de coordenadas X = x − u , {\displaystyle X=x-u,} Y = y − v , {\displaystyle Y=y-v,} as funções são, aproximadamente,
Método de Runge-Kutta
x n + 1 ≈ x n + h x ˙ ( t n ) {\displaystyle x_{n+1}\approx x_{n}+h{\dot {x}}(t_{n})} usamos o método de Euler, para calcular o valor da função no instante t n + 1 {\displaystyle t_{n+1}} a partir da derivada no instante t n . {\displaystyle t_{n}.} Para melhorar o método será preciso usar uma melhor aproximação ao valor médio da derivada, no intervalo [ t n , t n + h ] . {\displaystyle [t_{n},t_{n}+h].} No método de Runge-Kutta de quarta ordem, o valor da derivada, d , {\displaystyle d,} obtém-se a partir da média das derivadas em 4 pontos diferentes, com pesos diferentes (figura ao lado). Começa-se por calcular a derivada no ponto inicial, tal como no método de Euler:
Um sistema dinâmico autônomo, com duas variáveis de estado x 1 {\displaystyle x_{1}} e x 2 , {\displaystyle x_{2},} é caraterizado por duas equações de evolução: x 1 ˙ = f 1 ( x 1 , x 2 ) x 2 ˙ = f 2 ( x 1 , x 2 ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x_{1}}}=f_{1}(x_{1},x_{2})\\{\dot {x_{2}}}=f_{2}(x_{1},x_{2})\end{aligned}}} onde f 1 {\displaystyle f_{1}} e f 2 {\displaystyle f_{2}} são duas funções quaisquer, que dependem das variáveis x 1 {\displaystyle x_{1}} e x 2 . {\displaystyle x_{2}.} Não existem técnicas analíticas gerais para resolver esse tipo de equações; unicamente existem técnicas analíticas gerais para o caso dos sistemas lineares, em que f 1 {\displaystyle f_{1}} e f 2 {\displaystyle f_{2}} são combinações lineares das variáveis x 1 {\displaystyle x_{1}} e x 2 . {\displaystyle x_{2}.} Os sistemas não lineares geralmente só podem ser resolvidos por métodos numéricos. No entanto, a análise gráfica no espaço de fase pode fornecer muita informação sobre o comportamento do sistema.
Pontos de equilíbrio
Os sistemas lineares têm um único ponto de equilíbrio. Um sistema não linear pode ter qualquer número de pontos de equilíbrio. x 1 ˙ = 4 − x 1 2 − 4 x 2 2 x 2 ˙ = x 2 2 − x 1 2 + 1 {\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {x_{1}}}&=4-x_{1}^{2}-4\,x_{2}^{2}&{\dot {x_{2}}}&=x_{2}^{2}-x_{1}^{2}+1\end{aligned}}} Existem quatro pontos de equilíbrio. Os pontos onde o lado direito da primeira equação é nulo, são todos os pontos da elipse x 1 2 4 + x 2 2 = 1 {\displaystyle {\frac {x_{1}^{2}}{4}}+x_{2}^{2}=1} e os pontos onde o lado direito da segunda equação é nulo são os pontos da hipérbole x 1 2 − x 2 2 = 1. {\displaystyle x_{1}^{2}-x_{2}^{2}=1.} Os pontos de equilíbrio do sistema são os quatro pontos de interseção entre a elipse e a hipérbole. Os gráficos dessas duas curvas desenham-se mais facilmente usando a forma paramétrica dessas equações:
Aproximação linear
Cada uma das funções f 1 {\displaystyle f_{1}} e f 2 {\displaystyle f_{2}} podem ser escritas na forma de uma série de Taylor, na vizinhança de um ponto qualquer ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} do espaço de fase: f i ( x 1 , y 2 ) = f i ( a , b ) + ( x 1 − a ) ∂ f i ∂ x 1 | ( a , b ) + ( x 2 − b ) ∂ f i ∂ x 2 | ( a , b ) + … {\displaystyle f_{i}(x_{1},y_{2})=f_{i}(a,b)+(x_{1}-a)\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{1}}}\right|_{(a,b)}+(x_{2}-b)\left.{\frac {\partial f_{i}}{\partial x_{2}}}\right|_{(a,b)}+\ldots } Se o ponto ( a , b ) {\displaystyle (a,b)} for um ponto de equilíbrio, f i ( a , b ) {\displaystyle f_{i}(a,b)} é nula e, portanto, o primeiro termo da série é nulo.
O pêndulo
O tipo de pêndulo a seguir está formado por um disco de massa m {\displaystyle m} e raio r , {\displaystyle r,} ligado a uma barra rígida de massa desprezável em comparação com m . {\displaystyle m.} No outro extremo da barra passa um eixo horizontal que permite que o pêndulo rode num plano vertical, descrevendo trajetórias circulares com raio l , {\displaystyle l,} onde l {\displaystyle l} é a distância desde o centro do disco até o eixo de rotação. (figura abaixo). O pêndulo tem unicamente um grau de liberdade, que pode ser definido como o ângulo θ {\displaystyle \theta } que faz com a vertical. Portanto, existem duas variáveis de estado, θ , {\displaystyle \theta ,} e a velocidade angular ω . {\displaystyle \omega .} A primeira equação de evolução é a relação entre o ângulo e a velocidade angular: θ ˙ = ω . {\displaystyle {\dot {\theta }}=\omega .} A segunda equação de evolução é a expressão da aceleração angular α {\displaystyle \alpha } em função de θ {\displaystyle \theta } e de ω . {\displaystyle \omega .} Para encontrar essa expressão, é preciso resolver as leis do movimento do corpo rígido.
Aproximação linear do pêndulo
Os pontos de equilíbrio do pêndulo são todos os pontos onde os lados direitos das equações do pêndulo simples sejam nulos; consequentemente, existem pontos de equilíbrio em θ = 0 , ± π , ± 2 π , … , c o m ω = 0 {\displaystyle \theta =0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\ldots ,com\omega =0} Os pontos em θ = 0 , ± 2 π , ± 4 π , … , {\displaystyle \theta =0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\ldots ,} são realmente o mesmo ponto físico, na posição mais baixa do pêndulo, correspondentes à passagem do pêndulo por essa posição, após um número qualquer de voltas. Os pontos em θ = ± π , ± 3 π , … {\displaystyle \theta =\pm \pi ,\pm 3\pi ,\ldots } são também um mesmo ponto física, na parte mais alta do pêndulo.
