Fenômeno de Gibbs

O fenômeno de Gibbs ocorre quando se representa uma função por Série de Fourier e a função possui um número finito de descontinuidades em seu período. O fenômeno envolve o fato de que ocorre uma ultrapassagem nos saltos dessas descontinuidades, a qual não desaparece à medida que se adiciona mais termos na soma parcial. Como pode ser visto nas representações à direita, conforme o número de termos aumenta, o erro da aproximação é reduzido em largura e energia, contudo converge para uma altura fixa próximo à descontinuidade. As figuras ilustram o fenômeno de Gibbs para uma onda quadrada f(t) (com amplitude π / 4 {\displaystyle \pi /4} e período 2 π {\displaystyle 2\pi } ), a qual é representada pela série: f ( t ) = ∑ k = 0 ∞ sen ⁡ [ ( 2 k + 1 ) t ] 2 k + 1 = sen ⁡ ( t ) + sen ⁡ ( 3 t ) 3 + sen ⁡ ( 5 t ) 5 + . . . {\displaystyle f(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\operatorname {sen}[(2k+1)t]}{2k+1}}=\operatorname {sen}(t)+{\frac {\operatorname {sen}(3t)}{3}}+{\frac {\operatorname {sen}(5t)}{5}}+...}

O Fenômeno de Gibbs foi notado e analisado pela primeira vez por Henry Wilbraham em um artigo de 1848. O artigo não chamou muita atenção até 1914 quando foi mencionado em um estudo de Heinrich Burkhardt sobre análise matemática na enciclopédia de Klein. Em 1898, Albert A. Michelson desenvolveu um dispositivo que computava e ressintetizava a série de Fourier. Há um mito que diz que quando eram colocados os coeficientes da Fourier para uma onda quadrada na máquina, o gráfico oscilava nas descontinuidades e isso ocorria pois ele era um dispositivo físico sujeito a erros de confecção. De fato os gráficos produzidos pela máquina não eram bons o suficiente para exibir o Fenômeno de Gibbs claramente, e Michelson pode não ter percebido isto, uma vez que ele não mencionou sobre esse efeito em seu artigo (Michelson & Stratton 1898) sobre sua máquina ou em suas cartas à revista Nature. Inspirado em uma correspondência da Nature entre Michelson e Love sobre a convergência da série de Fourier da funcão da onda quadrada, em 1898 J. Willard Gibbs publicou uma pequena nota na qual ele considerou o que hoje se chama onda dente de serra e apontou a importante distinção entre o limite do gráficos das somas parciais da série de Fourier e o gráfico da função que é o limite dessas somas parciais. Na sua primeira carta, Gibbs não percebeu o Fenômeno de Gibbs, e o limite que ele descreveu para os gráficos das somas parciais era impreciso. Em 1899, ele publicou uma correção na qual ele descreveu a ultrapassagem do ponto de descontinuidade (Nature: Abril 27, 1899, p. 606). Em 1906, Maxime Bôcher forneceu uma análise matemática detalhada sobre essa ultrapassagem, criando o termo "Fenômeno de Gibbs" e tornando ele popular.

Seja f : R → R {\displaystyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }} uma função contínua por partes e periódica com período L > 0 {\displaystyle L>0} . Supõe-se que em um ponto x 0 {\displaystyle x_{0}} o limite lateral à esquerda f ( x 0 − ) {\displaystyle f(x_{0}^{-})} e o limite lateral à direita f ( x 0 + ) {\displaystyle f(x_{0}^{+})} da função f {\displaystyle f} diferem de um valor diferente de zero igual a a {\displaystyle a} : f ( x 0 + ) − f ( x 0 − ) = a ≠ 0. {\displaystyle f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=a\neq 0.} Para cada valor inteiro positivo N ≥ 1, seja SN fa a N-ésima Série de Fourier parcial onde os coeficientes de Fourier f ^ ( n ) , a n , b n {\displaystyle {\hat {f}}(n),a_{n},b_{n}} são dados pela fórmula usual De maneira geral, se x N {\displaystyle x_{N}} é uma sequência de números reais que converge para x 0 {\displaystyle x_{0}} com N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } , e se o valor a {\displaystyle a} é positivo então

Agora se ilustra o Fenômeno de Gibbs para o caso da onda quadrada formada pela soma infinita de senos e cossenos. O período L {\displaystyle L} agora é igual a 2 π {\displaystyle 2\pi } , a descontinuidade x 0 {\displaystyle x_{0}} encontra-se no zero e o salto a {\displaystyle a} tem valor de π / 2 {\displaystyle \pi /2} . Por simplicidade, se trabalhará com o caso em que N é um número par (o caso para N ímpar é muito similar). Então tem-se que: Substituindo x = 0 {\displaystyle x=0} se obtém que Ao introduzir a função sinc normalizada sinc ⁡ ( x ) {\displaystyle \operatorname {sinc} (x)\,} é possível reescrever a expressão acima como Mas percebe-se que a expressão em colchetes é uma aproximação por integração numérica para a integral ∫ 0 1 sinc ⁡ ( x ) d x {\displaystyle \int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\ dx} . Como a função sinc é contínua, essa aproximação converge para a integral apresentada com N → ∞ {\displaystyle N\to \infty } . Portanto tem-se que:

Imagem: Joao Volker · BY-SA · Openverse

Em processamento de sinais, o fenômeno de Gibbs é indesejável por causar erro na leitura do sinal pelo equipamento, seja por clipping para o caso do erro atribuído aos picos do fenômeno, ou por ringing artifacts para as oscilações. Para circuitos que operam em baixas frequências, os efeitos do fenômeno podem ser reduzidos ou mesmo eliminados por meio de filtros passa-baixa. Em imagens de ressonância magnética (IRM), o fenômeno de Gibbs causa artefato, erro de medição gerado pela ineficiência dos aparelhos empregados ou pela ineficácia do método utilizado, na presença de regiões adjacentes com acentuada diferença de sinal. Esse fenômeno é comumente encontrado em ressonâncias magnéticas que cobrem a região espinhal, em que o fenômeno de Gibbs pode simular a aparência de siringomielia.