Derivada direcional
Em matemática, a derivada direcional de uma função multivariável diferenciável ao longo de um dado vetor v em um dado ponto x intuitivamente representa a taxa instantânea de variação da função, movendo-se através de x com uma velocidade especificada por v. Ela, portanto, generaliza a noção de derivada parcial, em que a taxa de mudança é tomada ao longo de uma curva em um sistema de coordenadas curvilíneo, com todas as outras coordenadas sendo constantes.
Seja τ uma curva cujo vetor tangente em algum ponto escolhido é v. A derivada direcional de uma função f em relação a v pode ser representada das seguintes maneiras:
A derivada direcional de uma função da forma z = f ( x , y ) {\displaystyle z=f(x,y)} na direção u → {\displaystyle {\vec {u}}} tem por definição: D u → f ( x , y ) = d f d x u1 + d f d y u2 {\displaystyle D{\vec {u}}f(x,y)={df \over dx}{\scriptstyle {\text{u1}}}+{df \over dy}{\scriptstyle {\text{u2}}}} Também pode ser escrita como o produto escalar: D u → f ( x , y ) = ∇ → f ⋅ u → {\displaystyle D{\vec {u}}f(x,y)={\vec {\nabla }}f\centerdot {\vec {u}}} Essa definição foi estabelecida para duas dimensões, mas pode ser generalizada para três dimensões. Teremos, portanto, uma função de três variáveis, w = f (x, y, z), que pode ser representada graficamente num sistema de coordenadas retangulares. Esse produto escalar entre o gradiente de f e um vetor unitário u → {\displaystyle {\vec {u}}} tem grandes implicações na matemática. Sejam algumas delas: D u → f ( x , y ) = | ∇ → f | | u → | cos 0 ∘ ∴ D u → f ( x , y ) = | ∇ → f | {\textstyle D{\vec {u}}f(x,y)=\left\vert {\vec {\nabla }}f\right\vert \left\vert {\vec {u}}\right\vert \cos 0^{\circ }\therefore D{\vec {u}}f(x,y)=\left\vert {\vec {\nabla }}f\right\vert }
Usando apenas a direção do vetor
Em um espaço Euclidiano, alguns autores definem a derivada direcional como sendo relacionada a um vetor v arbitrário e não nulo depois de normalizado, sendo, pois, independente de sua magnitude e dependendo apenas de sua direção. Esta definição fornece a taxa de crescimento de f por unidade de distância movida na direção dada por v. Neste caso, tem-se que
Restrição para um vetor unitário
No contexto de uma função em um espaço Euclidiano, alguns textos restringem o vetor v a ser um vetor unitário. Com esta restrição, ambas as definições acima são equivalentes.
Muitas das propriedades familiares da derivada ordinária são mantidas para a derivada direcional. Estes incluem, para quaisquer funções f e g definidas e diferenciáveis em um ponto p, bem como em sua vizinhança:
Seja M uma variedade diferenciável e p um ponto de M. Suponha que f é uma função definida em uma vizinhança de p, e diferenciável em p. Se v é um vetor tangente a M em p, então a derivada direcional de f ao longo de v, denotada alternativamente como df(v), (consulte a derivada Covariante), (consulte a Derivada de Lie), ou, pode ser definido como se segue. Deixe γ : [−1, 1] → M ser uma curva diferenciável com γ(0) = p e γ′(0) = v. Então a derivada direcional é definida por Esta definição pode ser comprovada independentemente da escolha de γ, desde que γ seja selecionado da maneira descrita de modo que γ′(0) = v.
A derivada de Lie
A derivada de Lie de um campo de vetores ao longo de um campo de vetores é dada pela diferença de duas derivadas direcionais: Em particular, para um campo escalar a derivada de Lie reduz-se à derivada direcional padrão:
O tensor de Riemann
Derivadas direcionais são usadas frequentemente em derivações introdutórias do tensor de curvatura de Riemann. Considere um retângulo curvado com um vetor infinitesimal δ ao longo de uma borda e δ′ ao longo da outra. Transladamos um covetor S ao longo de δ, em seguida, δ′ e, em seguida, subtraímos a translação ao longo de δ′ e, em seguida, de δ. Em vez de construir a derivada direcional usando derivadas parciais, usamos a derivada covariante. O operador de translação para δ é portanto A diferença entre os dois caminhos é, então, Pode-se argumentar que a não comutatividade das derivadas covariantes mede a curvatura da variedade: onde R é o tensor de curvatura de Riemann e o sinal depende da convenção de sinais do autor.
Translações
Na álgebra de Poincaré, podemos definir um operador de translação infinitesimal P como (o i assegura que P é um operador autoadjunto). Para um deslocamento finito λ, a representação unitária do espaço de Hilbert para translações é Usando a definição acima de operador de translação infinitesimal, vemos que o operador de translação finita é o exponencial de uma derivada direcional: Este é um operador de translação, no sentido em que ele atua sobre funções multivariadas f(x) como A derivada de uma função suave f(x) é definida por (para um termo ε pequeno) Isto pode ser rearranjado para encontrar f(x+ε): Daí, [ 1 + ϵ ( d / d x ) ] {\displaystyle [1+\epsilon \,(d/dx)]} é uma operador de translação. Isto é instantaneamente generalizado para de funções com diversas variáveis f(x)
Rotações
O operador rotacional também contém uma derivada direcional. O operador rotacional de um ângulo θ, isto é, por uma quantidade θ=|θ| em torno de um eixo paralelo a =θ/θ é Aqui L é o operador vetorial que gera SO(3): Pode ser demonstrado geometricamente que uma rotação infinitesimal dextrógira altera a posição do vetor x por Assim, nós esperaríamos de uma rotação infinitesimal: Seguindo o mesmo procedimento de exponenciação acima, chegamos no operador rotacional na posição base, que é o exponencial de uma derivada direcional:
Uma derivada normal é uma derivada direcional tomada na direção normal (isto é, ortogonal) a alguma superfície no espaço, ou, mais geralmente, ao longo de um campo vetorial normal a alguma hipersuperfície. Veja, por exemplo, a condição de contorno de Neumann. Se a direção normal é denotada por n {\displaystyle \mathbf {n} } , então a derivada direcional de uma função f é às vezes denotada por ∂ f ∂ n {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial n}}} . Em outras notações,
Vários resultados importantes em mecânica contínua exigem as derivadas de vetores em relação aos vetores e de tensores em relação aos vetores e tensores. A derivada direcional proporciona uma forma sistemática de encontrar essas derivadas. As definições de derivadas direcionais para várias situações são dadas abaixo. Presume-se que as funções são suficientemente suaves para que as derivadas possam ser tomadas.
Derivadas de funções vetoriais com imagem escalar
Seja f ( v ) {\displaystyle f(\mathbf {v} )} uma função com imagem real do vetor v {\displaystyle \mathbf {v} } . Então a derivada de f ( v ) {\displaystyle f(\mathbf {v} )} em relação a v {\displaystyle \mathbf {v} } na direção u {\displaystyle \mathbf {u} } é definida como para todos os vetores u {\displaystyle \mathbf {u} } .
Derivadas funções vetoriais com imagem vetorial
Seja f ( v ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )} uma função, com imagem vetorial, do vetor v {\displaystyle \mathbf {v} } . Então a derivada de f ( v ) {\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {v} )} em relação a v {\displaystyle \mathbf {v} } na direção u {\displaystyle \mathbf {u} } é o tensor de segunda ordem definido como para todos os vetores u {\displaystyle \mathbf {u} } .
Derivadas de funções de tensores de segunda ordem com imagem escalar
Seja f ( S ) {\displaystyle f(\mathbf {S} )} uma função com imagem real do tensor de segunda ordem S {\displaystyle \mathbf {S} } . Então a derivada de f ( S ) {\displaystyle f(\mathbf {S} )} em relação à S {\displaystyle \mathbf {S} } na direção T {\displaystyle \mathbf {T} } é o tensor de segunda ordem definido como para todos os tensores de segunda ordem T {\displaystyle \mathbf {T} } .
Derivadas de funções de tensores de segunda ordem com imagem tensorial
Seja F ( S ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {S} )} uma função com imagem tensorial de segunda ordem do tensor de segunda ordem S {\displaystyle \mathbf {S} } . Então a derivada de F ( S ) {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {S} )} em relação à S {\displaystyle \mathbf {S} } na direção T {\displaystyle \mathbf {T} } é o tensor de quarta ordem definido como para todos os tensores de segunda ordem T {\displaystyle \mathbf {T} } .
