Derivada covariante
A derivada covariante é uma generalização do conceito de derivada parcial que permite estender o cálculo diferencial em , com coordenadas cartesianas, para o caso de coordenadas curvilíneas em .
Introduziremos primeiro o caso de R n {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}} . Suponha que tenhamos n campos vetoriais que em cada ponto formam uma base de vetores { e 1 , … e n } {\displaystyle \scriptstyle \{\mathbf {e} _{1},\dots \mathbf {e} _{n}\}} e um campo vetorial contravariante adicional v {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {v} } . Portanto, este campo pode ser expresso em termos da base acima: Onde v k {\displaystyle \scriptstyle v^{k}} são os componentes do vetor na base dada. Caso esteja-se usando coordenadas curvilíneas ( x 1 , … x n ) {\displaystyle \scriptstyle (x^{1},\dots x^{n})} , os vetores tangentes às curvas coordenadas variam ponto a ponto. Isso significa que mesmo quando o campo vetorial é constante, em geral as coordenadas da base escolhida não são constantes e geralmente acontece a derivada covariante ( ∂ ¯ {\displaystyle \scriptstyle {\bar {\partial }}} ):
Exemplo
Se o piloto de um ferryboat entre 2 portos próximos mantém um rumo e velocidade constantes, consistente com a menor distância entre eles, o seu vetor velocidade não varia, se expresso em função de coordenadas x e y, no mapa. A situação muda para um navio navegando entre portos distantes o suficiente para que a curvatura da terra seja relevante. Mesmo que os portos tenham a mesma latitude, e que seja possível, por exemplo, navegar continuamente para oeste, esse não será o caminho mais curto, a não ser no caso particular de estar na linha do equador. Isso fica mais evidente num curso leste - oeste perto dos polos, onde a curva seguida por manter uma latitude constante fica clara.
Caso euclidiano
A necessidade de generalização das derivadas ordinárias comuns em R n {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}} pode ser vista quando se utiliza coordenadas curvilíneas, conforme vimos. Para o movimento de uma partícula expresso em coordenadas cartesianas e em seguida o mesmo movimento expresso em coordenadas polares, por exemplo, considera-se uma massa puntiforme que se desloca ao longo de uma linha reta por: Ou seja, o ponto se move com uma velocidade v {\displaystyle \scriptstyle v} constante ao longo de uma linha reta. Isto pode ser visto facilmente ao calcular-se a velocidade e a aceleração da partícula: Onde utilizamos a notação x ˙ = d x / d t {\displaystyle \scriptstyle {\dot {x}}=dx/dt} e y ˙ = d y / d t {\displaystyle \scriptstyle {\dot {y}}=dy/dt} .
Caso geral
Em uma variedade diferenciável ou hipersuperfície de R n {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}} , por outro lado, o conceito de derivada direcional é definido a partir do espaço tangente em cada ponto. No caso geral, para apresentar a variedade ou a hipersuperfície curvatura, os espaços tangentes em cada ponto diferem dos espaços tangentes em pontos próximos e, portanto, é preciso de alguma forma "conectar" ou identificar os vetores de diferentes espaços vetoriais, através de uma conexão sobre a variedade. Em uma variedade de Riemann, é comum escolher uma conexão (sem torção) que seja compatível com a métrica, expressa pelos componentes do tensor métrico g μ ν {\displaystyle \scriptstyle g_{\mu \nu }} no sentido de que:
Nas seções anteriores, a discussão da derivada covariante foi limitada a um campo de vetores contravariantes. Porém, a derivada covariante pode ser estendida para outros tipos de campos tensoriais, definidos em uma variedade riemanniana. Para estender tal definição, usa-se o fato de que a derivada parcial de um escalar coincide com a derivada covariante parcial desse escalar, ou seja, Assim, para calcular a derivada covariante parcial de uma 1-forma θ = θ α d x α {\displaystyle \scriptstyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta _{\alpha }dx^{\alpha }} considera-se uma contração com um campo de vetores contravariante, e levando-se em conta que a derivada covariante segue a regra do produto: Isto leva à seguinte relação entre as componentes: Para um tensor geral da forma (p,q) tem-se:
Propriedades
No exemplo acima, consideramos a definição de derivada covariante de forma intuitiva, estendendo-se para coordenadas curvilíneas a definição de derivada parcial. Esta abordagem conduz a um operador derivada covariante com as seguintes propriedades: Outra possibilidade é definir uma derivada covariante mais formal e a construção de um operador que satisfaz as propriedades acima.
