Elemento neutro
Em matemática, um elemento neutro é um componente especial em uma operação binária que, ao ser combinado com outro elemento, não altera a identidade (valor ou natureza) desse outro elemento. Por essa razão, ele é considerado 'neutro' na operação. Também pode ser chamado de 'neutro' ou 'identidade' em contextos onde não há ambiguidade.
Pontos-chave
- Um elemento neutro não altera a identidade de outro elemento em uma operação binária.
- É fundamental para a definição de outras propriedades matemáticas, como o elemento inverso.
- Pode ser chamado de 'elemento identidade', embora 'elemento neutro' seja mais comum.
- Sua existência não é universal para todas as operações ou sistemas matemáticos.
- Aplica-se a diversos contextos, desde conjuntos numéricos até situações do dia a dia.
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Embora 'elemento identidade' seja uma alternativa para 'elemento neutro', a segunda forma é quase universalmente preferida. A ideia por trás de 'elemento identidade' é que ele preserva a identidade do elemento com o qual é operado. No entanto, a vasta maioria das culturas e literaturas matemáticas opta pelo equivalente vernáculo de 'elemento neutro'.
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Para um grupóide S, que é um conjunto C com uma operação binária * (representado como S = (C, *)), um elemento 'e' pertencente a C é considerado um elemento neutro se, para qualquer elemento 'a' em C, a operação de 'e' com 'a' (e * a) e de 'a' com 'e' (a * e) resulta sempre em 'a'. Ou seja, 'e' não altera 'a'.
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A noção de elemento neutro está intrinsecamente ligada à de elemento inverso. Em termos simples, um elemento inverso 'desfaz' a ação de outro elemento, e o resultado dessa 'desfeita' é o elemento neutro. Por exemplo, em conjuntos numéricos com adição, o zero é o neutro (a + 0 = a), e o inverso de 'a' é '-a' (a + (-a) = 0). Na multiplicação, o um é o neutro (a * 1 = a), e o inverso de 'a' é '1/a' (a * (1/a) = 1).
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Um sistema pode ter vários elementos neutros à esquerda ou à direita. No entanto, quando existem um neutro à esquerda e um neutro à direita, e eles são iguais, então há um único 'elemento neutro bilateral' (ou simplesmente 'elemento neutro'). Não pode haver mais de dois elementos neutros unilaterais. É importante notar que nem todas as álgebras ou operações binárias possuem um elemento neutro.
