Coordenada generalizada
Coordenadas generalizadas são um conjunto qualquer de parâmetros numéricos que servem para determinar de maneira unívoca a configuração de um mecanismo ou sistema mecânico com um número finito de graus de liberdade. Mais formalmente as coordenadas generalizadas se definem como um sistema de coordenadas curvilíneas sobre a variedade de configuração de um sistema físico como por exemplo o espaço de configuração ou o espaço de fases da mecânica clássica.
Noção intuitiva
A mecânica newtoniana usa sistemas de referência com eixos cartesianos em que a posição de uma partícula pontual em um instante dado vem a ser dada por um vetor do espaço euclidiano. As equações de movimento são equações diferenciais que relacionam as derivadas da posição com a posição das outras partículas. Entretanto, matematicamente podemos usar um conjunto de coordenadas curvilíneas quaisquer tais que o vetor posição possa ser expresso em termos dessas coordenadas e vice versa. Isto implica que em um sistema de P partículas (e 2N graus de libertade) existirão funções invertíveis da outra tais que:
Noção formal
Formalmente, em mecânica lagrangiana o estado físico de um sistema mecânico, também chamado estado de movimento, é representado por um ponto do espaço de configuração "ampliado". Este espaço é designado por TQ e matematicamente é o fibrado tangente do espaço de configuração Q de possíveis posições. Por construção o espaço de configuração ampliado tem uma estrutura de variedade diferenciável de dimensão 2N, sendo N o número de graus de liberdade do sistema. Naturalmente os 2N números anteriores têm que ver com as coordenadas curvilíneas em termos dos quais representamos a posição ordinária de uma partícula. Da discussão anterior se segue que um conjunto adequado de coordenadas generalizadas para um sistema lagrangiano não pode vir a ser dado por um conjunto qualquer de m números reais senão que deve existir um conjunto aberto U do fibrado tangente TQ e uma função de classe Ck, com k > 1, tal que:
A situação na mecânica hamiltoniana é similar à que se apresenta na mecânica lagrangiana já que o estado de um sistema físico se representa por um ponto do chamado espaço fásico (que é uma variedade simplética construída sobre o espaço de configuração "ampliado" do sistema). Em uma variedade simplética (M,ω) podem escolher-se diversos sistemas de coordenadas generalizadas, mas têm especial interesse os sitemas de coordenadas canônicas. O teorema de Darboux garante que ao redor de qualquer ponto existe um em torno e um sistema de coordenadas no qual a 2-forma simplética tem a forma: Um sistema de coordenadas como o anterior é um sistema de coordenadas canônicas, onde a coordenada pi se chama momento conjugado da coordenada qi. Em um sistema de coordenadas canônicas as equações de Hamilton tomam sua forma canônica.
Em certos problemas mecânicos precisos como o problema das vibrações ou oscilações acopladas aparecem sistemas de coordenadas generalizadas não relacionados com nenhuma medida direta realizável sobre o sistema físico, mas úteis na resolução matemática dos problemas. Um problema de oscilações acopladas pode resolver-se mediante certas trocas de variábles que levam às coordenadas normais ou amplitudes dos modos próprios de vibração, que são de fato uma forma particular de coordenadas generalizadas para o problema mecânico original. O problema de oscilações acopladas, aparece por exemplo nas vibrações térmicas de um cristal, ou o movimento horizontal de um edifício em terremoto ou o movimento de um sistema de massas unidas por molas. Estes problemas conduzem a um sistema de equações do seguinte tipo: que pode ser resolvido definindo novas coordenadas definidas mediante um troca linear: A matriz alteração de massa é calculada a partir dos modos próprios do sistema. Com esta alteração o sistema se converte em um conjunto de N equações precisas do tipo:
