Coordenadas curvilíneas
Em geometria, as coordenadas curvilíneas são um sistema de coordenadas para o espaço euclidiano no qual as linhas de coordenadas podem ser curvas. Essas coordenadas podem ser derivadas de um conjunto de coordenadas cartesianas usando uma transformação que é localmente invertível em cada ponto. Isso significa que se pode converter um ponto dado em um sistema de coordenadas cartesianas em suas coordenadas curvilíneas e vice-versa. O nome coordenadas curvilíneas, cunhado pelo matemático francês Lamé, deriva do fato de que as superfícies de coordenadas dos sistemas curvilíneos são curvas.
Imagem: Lyudmil Antonov Lantonov // Wiki LIC (Spanish translation) · BY-SA · Openverse
Coordenadas, base e vetores
Por enquanto, considere o espaço 3-D . Um ponto P no espaço 3d (ou seu vetor de posição r ) pode ser definido usando coordenadas cartesianas ( x, y, z ) [escrito de forma equivalente ( x 1, x 2, x 3 )], por r = x e x + y e y + z e z {\displaystyle \mathbf {r} =x\mathbf {e} _{x}+y\mathbf {e} _{y}+z\mathbf {e} _{z}} , onde e x, e y, e z são os vetores de base padrão . Ele também pode ser definido por suas coordenadas curvilíneas ( q 1, q 2, q 3 ) se este tripleto de números definir um único ponto de forma inequívoca. A relação entre as coordenadas é então dada pelas funções de transformação invertíveis: As superfícies q 1 = constante, q 2 = constante, q 3 = constante são chamadas de superfícies de coordenadas ; e as curvas espaciais formadas por sua interseção em pares são chamadas de curvas de coordenadas . Os eixos de coordenadas são determinados pelas tangentes às curvas de coordenadas na interseção de três superfícies. Em geral, elas não são direções fixas no espaço, o que acontece para as coordenadas cartesianas simples e, portanto, geralmente não há base global natural para as coordenadas curvilíneas.
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Elementos diferenciais,
Em coordenadas curvilíneas ortogonais, uma vez que a mudança diferencial total em r é então os fatores de escala são h i = | ∂ r ∂ q i | {\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|} Em coordenadas não ortogonais, o comprimento de d r = d q 1 h 1 + d q 2 h 2 + d q 3 h 3 {\displaystyle d\mathbf {r} =dq^{1}\mathbf {h} _{1}+dq^{2}\mathbf {h} _{2}+dq^{3}\mathbf {h} _{3}} é a raiz quadrada positiva de d r ⋅ d r = d q i d q j h i ⋅ h j {\displaystyle d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =dq^{i}dq^{j}\mathbf {h} _{i}\cdot \mathbf {h} _{j}} (com a convenção de soma de Einstein ). Os seis produtos escalares independentes g ij = h i . h j dos vetores de base natural generalizam os três fatores de escala definidos acima para coordenadas ortogonais. Os nove g ij são os componentes do tensor métrico, que possui apenas três componentes diferentes de zero em coordenadas ortogonais: g 11 = h 1 h 1, g 22 = h 2 h 2, g 33 = h 3 h 3 .
Gradientes espaciais, distâncias, derivadas de tempo e fatores de escala estão inter-relacionados dentro de um sistema de coordenadas por dois grupos de vetores de base: Consequentemente, um sistema de coordenadas curvilíneas geral tem dois conjuntos de vetores de base para cada ponto: { b 1, b 2, b 3 } é a base covariante e { b 1, b 2, b 3 } é a contravariante (também conhecida como recíproca) base. Os tipos de vetores de base covariante e contravariante têm direção idêntica para sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonais, mas, como de costume, têm unidades invertidas entre si. Observe a seguinte igualdade importante: em que δ j i {\displaystyle \delta _{j}^{i}} denota o delta de Kronecker generalizado . Um vetor v pode ser especificado em termos de qualquer uma das bases, ou seja, Usando a convenção de soma de Einstein, os vetores de base se relacionam aos componentes por ( pp30-32 )
Construindo uma base covariante em uma dimensão
Considere a curva unidimensional mostrada na Fig. 3. No ponto P, tomado como origem, x é uma das coordenadas cartesianas e q 1 é uma das coordenadas curvilíneas. O vetor de base local (não unitário) é b 1 (notado h 1 acima, com b reservado para vetores de unidade) e é construído no eixo q 1 que é uma tangente a essa linha de coordenada no ponto P. O eixo q 1 e, portanto, o vetor b 1 formam um ângulo α {\displaystyle \alpha } com o eixo x cartesiano e o vetor de base cartesiana e 1 . onde | e 1 |, | b 1 | são as magnitudes dos dois vetores básicos, ou seja, os interceptos escalares PB e PA . PA também é a projeção de b 1 no eixo x . No entanto, este método para transformações de vetor de base usando cossenos direcionais é inaplicável a coordenadas curvilíneas pelos seguintes motivos:
Construindo uma base covariante em três dimensões
Fazendo o mesmo para as coordenadas nas outras 2 dimensões, b 1 pode ser expresso como: Equações semelhantes são válidas para b 2 e b 3, de modo que a base padrão { e 1, e 2, e 3 } é transformada em uma base local (ordenada e normalizada ) { b 1, b 2, b 3 } pelo seguinte sistema de equações: Por raciocínio análogo, pode-se obter a transformação inversa da base local para a base padrão:
Jacobiano da transformação
Os sistemas de equações lineares acima podem ser escritos em forma de matriz usando a convenção de soma de Einstein como Essa matriz de coeficientes do sistema linear é a matriz Jacobiana (e sua inversa) da transformação. Essas são as equações que podem ser usadas para transformar uma base cartesiana em uma base curvilínea e vice-versa. Em três dimensões, as formas expandidas dessas matrizes são Na transformação inversa (segundo sistema de equações), as incógnitas são os vetores de base curvilínea. Para qualquer local específico, só pode existir um e apenas um conjunto de vetores de base (caso contrário, a base não está bem definida nesse ponto). Esta condição é satisfeita se e somente se o sistema de equações tiver uma única solução. Em álgebra linear, um sistema de equações lineares tem uma única solução (não trivial) apenas se o determinante de sua matriz de sistema for diferente de zero:
O formalismo se estende a qualquer dimensão finita como segue. Considere o espaço n- dimensional euclidiano real, que é R n = R × R ×. . . × R ( n vezes) onde R é o conjunto de números reais e × denota o produto cartesiano, que é um espaço vetorial . As coordenadas deste espaço podem ser denotadas por: x = ( x 1, x 2, ..., x n ). Como este é um vetor (um elemento do espaço vetorial), pode ser escrito como: onde e 1 = (1,0,0 ..., 0), e 2 = (0,1,0 ..., 0), e 3 = (0,0,1 ..., 0) ,. .., e n = (0,0,0 ..., 1) é o conjunto de vetores de base padrão para o espaço R n, ei = 1, 2, ... n é um componente de rotulagem de índice. Cada vetor possui exatamente um componente em cada dimensão (ou "eixo") e são mutuamente ortogonais ( perpendiculares ) e normalizados (possuem magnitude unitária ). De maneira mais geral, podemos definir vetores de base b i de modo que dependam de q = ( q 1, q 2, ..., q n ), ou seja, eles mudam de ponto a ponto: b i = b i ( q ). Nesse caso, para definir o mesmo ponto x em termos dessa base alternativa: as coordenadas em relação a essa base v i também dependem necessariamente de x, ou seja, v i = v i ( x ). Então, um vetor v neste espaço, com relação a essas coordenadas alternativas e vetores de base, pode ser expandido como uma combinação linear nesta base (o que significa simplesmente multiplicar cada vetor de base e i por um número v i - multiplicação escalar ):
De uma perspectiva mais geral e abstrata, um sistema de coordenadas curvilíneas é simplesmente um remendo de coordenadas na variedade E n diferenciável ( espaço euclidiano n-dimensional) que é difeomórfico ao remendo de coordenadas cartesianas na variedade. Dois remendos de coordenadas difeomórficas em uma variedade diferencial não precisam se sobrepor de maneira diferente. Com esta definição simples de um sistema de coordenadas curvilíneas, todos os resultados que seguem abaixo são simplesmente aplicações de teoremas padrão em topologia diferencial . As funções de transformação são tais que há uma relação um-para-um entre os pontos nas coordenadas "antigas" e "novas", ou seja, essas funções são bijeções e atendem aos seguintes requisitos dentro de seus domínios : is not zero; meaning the transformation is invertible: xi(q).
Nota: A convenção de soma de Einstein para somar índices repetidos é usado abaixo: A álgebra vetorial e tensorial elementar em coordenadas curvilíneas é usada em parte da literatura científica mais antiga em mecânica e física e pode ser indispensável para a compreensão de trabalhos do início e meados do século XX, por exemplo, o texto de Green e Zerna. Algumas relações úteis na álgebra de vetores e tensores de segunda ordem em coordenadas curvilíneas são fornecidas nesta seção. A notação e os conteúdos são principalmente de Ogden, Naghdi, Simmonds, Green e Zerna, Basar e Weichert, e Ciarlet.
Um tensor de segunda ordem pode ser expresso como Onde ⊗ {\displaystyle \scriptstyle \otimes } denota o produto tensorial . Os componentes S ij são chamados de componentes contravariantes, S i j os componentes covariantes mistos à direita, S i j os componentes covariantes esquerdos mistos e S ij os componentes covariantes do tensor de segunda ordem. Os componentes do tensor de segunda ordem são relacionados por
O tensor métrico em coordenadas curvilíneas ortogonais
Em cada ponto, pode-se construir um pequeno elemento de linha dx, então o quadrado do comprimento do elemento de linha é o produto escalar d x • d x e é chamado de métrica do espaço, dado por: é um tensor simétrico chamado tensor fundamental (ou métrico) do espaço euclidiano em coordenadas curvilíneas. Os índices podem ser aumentados e reduzidos pela métrica: dá uma relação entre o tensor métrico e os coeficientes de Lamé: onde h ij são os coeficientes de Lamé. Para uma base ortogonal, também temos: Se considerarmos as coordenadas polares para R 2 , (r, θ) são as coordenadas curvilíneas, e o determinante Jacobiano da transformação ( r, θ) → ( r cos θ, r sin θ) é r .
O tensor alternado
Em uma base ortonormal destra, o tensor alternado de terceira ordem é definido como Em uma base curvilínea geral, o mesmo tensor pode ser expresso como mostrado abaixo:
Símbolos de Christoffel
onde a vírgula denota uma derivada parcial (ver cálculo de Ricci ). Para expressar Γ kij em termos de g ij , usando isso para reorganizar as relações acima dá
Operações vetoriais
The scalar product of two vectors in curvilinear coordinates is(p32) The cross product of two vectors is given by(32–34) where ϵ i j k {\displaystyle \epsilon _{ijk}} is the permutation symbol and e i {\displaystyle \mathbf {e} _{i}} is a Cartesian basis vector. In curvilinear coordinates, the equivalent expression is
Predefinição:Einstein summation convention Nota: A convenção de somas de Einstein para somar índices repetidos é utilizada Ajustes precisam ser feitos no cálculo das integrais de linha, superfície e volume . Para simplificar, o seguinte se restringe a três dimensões e coordenadas curvilíneas ortogonais. No entanto, os mesmos argumentos se aplicam a espaços n- dimensionais. Quando o sistema de coordenadas não é ortogonal, existem alguns termos adicionais nas expressões. Simmonds, em seu livro sobre análise de tensores, cita Albert Einstein dizendo A magia dessa teoria dificilmente deixará de se impor a quem realmente a entendeu; representa um verdadeiro triunfo do método do cálculo diferencial absoluto, fundado por Gauss, Riemann, Ricci e Levi-Civita. O cálculo vetorial e tensorial em coordenadas curvilíneas gerais é usado na análise de tensores em variedades curvilíneas quadri-dimensionais na relatividade geral, na mecânica de cascas curvas, no exame das propriedades de invariância das equações de Maxwell, que têm sido de interesse metamateriais e em muitos outros campos.
Elementos geométricos
is a tangent vector to C in curvilinear coordinates (using the chain rule). Using the definition of the Lamé coefficients, and that for the metric gij = 0 when i ≠ j, the magnitude is: where E {\displaystyle {\mathcal {E}}} is the permutation symbol. In determinant form:
Diferenciação
As expressões para gradiente, divergência e Laplaciano podem ser estendidas diretamente para n- dimensões, no entanto, o curl é definido apenas em 3d. O campo vetorial b i é tangente à curva de coordenadas q i e forma uma base natural em cada ponto da curva. Essa base, conforme discutido no início deste artigo, também é chamada de base curvilínea covariante . Também podemos definir uma base recíproca, ou base curvilínea contravariante, b i . Todas as relações algébricas entre os vetores da base, conforme discutido na seção sobre álgebra tensorial, se aplicam à base natural e seu recíproco em cada ponto x . ∇ ⋅ S = [ ∂ S i j ∂ q k − Γ k i l S l j − Γ k j l S i l ] g i k b j {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {S}}=\left[{\cfrac {\partial S_{ij}}{\partial q^{k}}}-\Gamma _{ki}^{l}S_{lj}-\Gamma _{kj}^{l}S_{il}\right]g^{ik}\mathbf {b} ^{j}}
Por definição, se uma partícula sem forças agindo sobre ela tem sua posição expressa em um sistema de coordenadas inercial, ( x 1 , x 2 , x 3 , t ), aí não terá aceleração (d 2 x j / d t 2 = 0). Neste contexto, um sistema de coordenadas pode deixar de ser "inercial" devido ao eixo do tempo não reto ou aos eixos espaciais não retos (ou ambos). Em outras palavras, os vetores de base das coordenadas podem variar no tempo em posições fixas, ou podem variar com a posição em tempos fixos, ou ambos. Quando as equações de movimento são expressas em termos de qualquer sistema de coordenadas não inercial (neste sentido), aparecem termos extras, chamados de símbolos de Christoffel. A rigor, esses termos representam os componentes da aceleração absoluta (na mecânica clássica), mas também podemos escolher continuar a considerar d 2 x j / d t 2 como a aceleração (como se as coordenadas fossem inerciais) e tratar os termos extras como se fossem forças, caso em que são chamadas de forças fictícias. O componente de qualquer força fictícia normal ao caminho da partícula e no plano da curvatura do caminho é então chamado de força centrífuga .
