Fibrado tangente

Seja M n {\displaystyle M^{n}} uma variedade suave de dimensão n {\displaystyle n} . Fixe um atlas maximal A {\displaystyle {\mathcal {A}}} em M {\displaystyle M} . Para cada p ∈ M {\displaystyle p\in M} , considere o conjunto I p := ⋃ U U × R n , φ : U → R n {\displaystyle I_{p}:=\bigcup _{U}U\times \mathbb {R} ^{n},\varphi :U\to \mathbb {R} ^{n}} , onde ( U , φ ) ⊂ A : p ∈ U {\displaystyle (U,\varphi )\subset {\mathcal {A}}:p\in U} . Introduzimos em I p {\displaystyle I_{p}} a seguinte relação de equivalência: sejam U , V {\displaystyle U,V} tais que p ∈ U ∩ V {\displaystyle p\in U\cap V} . Então, ( p , v ) ∼ ( p , w ) ⇔ d φ U ∘ ∘ φ V − 1 ( v ) = w {\displaystyle (p,v)\sim (p,w)\Leftrightarrow d\varphi _{U}\circ \circ \varphi _{V}^{-1}(v)=w} . O espaço das classes de equivalência por essa relação coincide com o espaço tangente a p ∈ M {\displaystyle p\in M} . Assim, o fibrado tangente associado a M {\displaystyle M} é obtido como espaço das classes da relação definida em ⋃ p I p {\displaystyle \bigcup _{p}I_{p}} por: ( U , p , v ) ∼ ( V , q , w ) ⇔ p = q , d φ U ∘ φ V − 1 ( v ) = w . {\displaystyle (U,p,v)\sim (V,q,w)\Leftrightarrow p=q,d\varphi _{U}\circ \varphi _{V}^{-1}(v)=w.}