Relação de equivalência

Várias notações são usadas na literatura para denotar que dois elementos a e b de um conjunto são equivalentes em relação a uma relação de equivalência R; os mais comuns são "a ~ b" e "a ≡ b", que são usados quando R está implícito e variações de "a ~R b", "a ≡R b", ou "aRb" para especificar R explicitamente. A não equivalência pode ser escrita "a ≁ b" ou " a ≢ b {\displaystyle a\not \equiv b} ".

Uma dada relação binária R {\displaystyle R} sobre um conjunto X é considerada uma relação de equivalência se e somente se for reflexiva, simétrica e transitiva. Isto é, para todos a, b e c em X: A classe de equivalência de a {\displaystyle a} sob R {\displaystyle R} , denotada [ a ] {\displaystyle [a]} , é definida como [ a ] = { b ∈ X ∣ a ∼ b } {\displaystyle [a]=\{b\in X\mid a\sim b\}} .

Se ~ é uma relação de equivalência em X, e P(x) é uma propriedade de elementos de X, tal que, quando x ~ y, P(x) é verdadeiro se P(y) é verdadeiro, então a propriedade P é dita como sendo bem definida ou invariante de classe sob a relação. Um caso particular frequente ocorre quando f é uma função de X para outro conjunto Y; se x1 ~ x2 implica f(x1) = f(x2) então f é dito ser um morfismo a ~, uma classe invariante sob ~, ou simplesmente invariante sob ~. Isto ocorre, por exemplo, na teoria dos caracteres de grupos finitos. O último caso com a função f pode ser expresso por um triângulo comutativo (invariante). Alguns autores usam "compatível com ~" ou apenas "respeitando ~" em vez de "invariante sob ~". Mais geralmente, uma função pode mapear argumentos equivalentes (sob uma relação de equivalência ~A) para valores equivalentes (sob uma relação de equivalência ~B). Tal função é conhecida como morfismo de ~A a ~B.

Sejam a , b ∈ X {\displaystyle a,b\in X} . Algumas definições:

Um resultado chave liga relações de equivalência e partições: Em ambos os casos, as células da partição de X são as classes de equivalência de X por ~. Como cada elemento de X pertence a uma célula única de qualquer partição de X, e como cada célula da partição é idêntica a uma classe de equivalência de X por ~, cada elemento de X pertence a uma classe de equivalência única de X por ~. Assim, há uma bijeção natural entre o conjunto de todas as possíveis relações de equivalência em X e o conjunto de todas as partições de X.

Se ~ e ≈ são duas relações de equivalência no mesmo conjunto S, e a ~ b implica a≈b para todo a, b ∈ S, então ≈ é dito ser uma relação mais grosseira do que ~, e ~ é uma relação mais fina que ≈ . Equivalentemente, A relação de equivalência de igualdade é a melhor relação de equivalência em qualquer conjunto, enquanto a relação trivial que torna todos os pares de elementos relacionados é a mais grosseira. A relação "~ é mais fina que ≈" na coleção de todas as relações de equivalência em um conjunto fixo é em si uma relação de ordem parcial, que torna a coleção uma rede geométrica.

Dada qualquer relação binária A ⊂ X × X {\displaystyle A\subset X\times X} em X {\displaystyle X} , a relação de equivalência gerada por A {\displaystyle A} é a intersecção das relações de equivalência em X {\displaystyle X} que contêm A {\displaystyle A} . (Já que X × X {\displaystyle X\times X} é uma relação de equivalência, a interseção é não trivial.) Observe que a relação de equivalência gerada dessa maneira pode ser trivial. Por exemplo, a relação de equivalência gerada por qualquer ordem total em X tem exatamente uma classe de equivalência, X em si, porque x ~ y para todo x e y. Como outro exemplo, qualquer subconjunto da relação de identidade em X tem classes de equivalência que são unidades de X.

Grande parte da matemática está fundamentada no estudo de equivalências e relações de ordem. A teoria da retícula captura a estrutura matemática das relações de ordem. Embora as relações de equivalência sejam tão onipresentes na matemática quanto as relações de ordem, a estrutura algébrica das equivalências não é tão conhecida quanto a das ordens. A estrutura anterior baseia-se principalmente na teoria dos grupos e, em menor escala, na teoria das redes, categorias e grupos.