Fibrado cotangente
Em matemática, especialmente na geometria diferencial, o fibrado cotangente de uma variedade diferenciável é o fibrado vetorial de todos os espaços cotangentes em cada ponto da variedade. Pode ser descrito também como o fibrado dual do fibrado tangente. Isso pode ser generalizado para categorias com mais estrutura do que as variedades diferenciáveis, como variedades complexas, ou variedades algébricas ou esquemas. No caso diferenciável, qualquer métrica Riemanniana ou forma simplética fornece um isomorfismo entre o fibrado cotangente e o fibrado tangente, mas eles não são em geral isomorfos em outras categorias.
Existem várias maneiras equivalentes de definir o fibrado cotangente. Uma forma é através de um morfismo diagonal Δ {\displaystyle \Delta } e germes. Seja M {\displaystyle M} uma variedade diferenciável e seja M × M {\displaystyle M\times M} o produto cartesiano de M {\displaystyle M} consigo mesma. A aplicação diagonal Δ {\displaystyle \Delta } envia um ponto p {\displaystyle p} em M {\displaystyle M} para o ponto ( p , p ) {\displaystyle (p,p)} de M × M {\displaystyle M\times M} . A imagem de Δ {\displaystyle \Delta } é chamada de diagonal. Seja I {\displaystyle {\mathcal {I}}} o feixe de germes de funções suaves em M × M {\displaystyle M\times M} que se anulam na diagonal. Então o feixe quociente I / I 2 {\displaystyle {\mathcal {I}}/{\mathcal {I}}^{2}} consiste em classes de equivalência de funções que se anulam na diagonal módulo termos de ordem superior. O feixe cotangente é definido como o pullback deste feixe para M {\displaystyle M} :
Um morfismo suave ϕ : M → N {\displaystyle \phi \colon M\to N} de variedades induz um feixe de pullback ϕ ∗ T ∗ N {\displaystyle \phi ^{*}T^{*}N} em M. Existe um mapa induzido de fibrados vetoriais ϕ ∗ ( T ∗ N ) → T ∗ M {\displaystyle \phi ^{*}(T^{*}N)\to T^{*}M} .
O fibrado tangente do espaço vetorial R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é T R n = R n × R n {\displaystyle T\,\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}} , e o fibrado cotangente é T ∗ R n = R n × ( R n ) ∗ {\displaystyle T^{*}\mathbb {R} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}\times (\mathbb {R} ^{n})^{*}} , onde ( R n ) ∗ {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n})^{*}} denota o espaço dual de covetores, funções lineares v ∗ : R n → R {\displaystyle v^{*}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } . Dada uma variedade suave M ⊂ R n {\displaystyle M\subset \mathbb {R} ^{n}} mergulhada como uma hipersuperfície representada pelo lugar de anulamento de uma função f ∈ C ∞ ( R n ) , {\displaystyle f\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),} com a condição de que ∇ f ≠ 0 , {\displaystyle \nabla f\neq 0,} o fibrado tangente é onde d f x ∈ T x ∗ M {\displaystyle df_{x}\in T_{x}^{*}M} é a derivada direcional d f x ( v ) = ∇ f ( x ) ⋅ v {\displaystyle df_{x}(v)=\nabla \!f(x)\cdot v} . Por definição, o fibrado cotangente neste caso é
Como o fibrado cotangente X = T ∗ M {\displaystyle X=T^{*}M} é um fibrado vetorial, ele pode ser considerado como uma variedade por si só. Porque em cada ponto as direções tangentes de M {\displaystyle M} podem ser emparelhadas com seus covetores duais na fibra, X {\displaystyle X} possui uma 1-forma canônica θ {\displaystyle \theta } chamada de 1-forma tautológica, discutida abaixo. A derivada exterior de θ {\displaystyle \theta } é uma 2-forma simplética, a partir da qual uma forma de volume não-degenerada pode ser construída para X {\displaystyle X} . Por exemplo, como resultado X {\displaystyle X} é sempre uma variedade orientável (o fibrado tangente T X {\displaystyle TX} é um fibrado vetorial orientável). Um conjunto especial de coordenadas pode ser definido no fibrado cotangente; estas são chamadas de coordenadas canônicas. Como os fibrados cotangentes podem ser pensados como variedades simpléticas, qualquer função real no fibrado cotangente pode ser interpretada como um Hamiltoniano; assim o fibrado cotangente pode ser entendido como um espaço de fase sobre o qual a mecânica hamiltoniana se desenvolve.
A 1-forma tautológica
O fibrado cotangente carrega uma 1-forma canônica θ {\displaystyle \theta } também conhecida como o potencial simplético, 1-forma de Poincaré, ou 1-forma de Liouville. Isso significa que se considerarmos T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} como uma variedade por si só, há uma seção canônica do fibrado vetorial T ∗ ( T ∗ M ) {\displaystyle T^{*}(T^{*}M)} sobre T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} . Esta seção pode ser construída de várias maneiras. O método mais elementar usa coordenadas locais. Suponha que x i {\displaystyle x^{i}} sejam coordenadas locais na variedade base M {\displaystyle M} . Em termos dessas coordenadas de base, existem coordenadas de fibra p i {\displaystyle p_{i}} : uma 1-forma num ponto particular de T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} tem a forma p i d x i {\displaystyle p_{i}{\text{d}}x^{i}} (Convenção de somatório de Einstein implícita). Portanto, a própria variedade T ∗ M {\displaystyle T^{*}M} possui coordenadas locais ( x i , p i ) {\displaystyle (x^{i},p_{i})} onde os x {\displaystyle x} são coordenadas na base e os p {\displaystyle p} são coordenadas na fibra. A 1-forma canônica é dada nessas coordenadas por θ ( x , p ) = ∑ i = 1 n p i d x i . {\displaystyle \theta _{(x,p)}=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,dx^{i}.}
Forma simplética
O fibrado cotangente tem uma 2-forma simplética canônica nele, como uma derivada exterior da 1-forma tautológica, o potencial simplético. Provar que esta forma é, de fato, simplética pode ser feito notando que ser simplética é uma propriedade local: como o fibrado cotangente é localmente trivial, esta definição precisa apenas ser verificada em R n × R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}} . Mas lá a 1-forma definida é a soma de y i d x i {\displaystyle y_{i}\,dx_{i}} , e o diferencial é a forma simplética canônica, a soma de d y i ∧ d x i {\displaystyle dy_{i}\land dx_{i}} .
Espaço de fase
Se a variedade M {\displaystyle M} representa o conjunto de posições possíveis num sistema dinâmico, então o fibrado cotangente T ∗ M {\displaystyle T^{*}\!M} pode ser pensado como o conjunto de possíveis posições e momentos. Por exemplo, esta é uma forma de descrever o espaço de fase de um pêndulo. O estado do pêndulo é determinado por sua posição (um ângulo) e seu momento (ou equivalentemente, sua velocidade, já que sua massa é constante). O espaço de estados inteiro se parece com um cilindro, que é o fibrado cotangente do círculo. A construção simplética acima, junto com uma função de energia apropriada, dá uma determinação completa da física do sistema. Veja mecânica hamiltoniana e o artigo sobre fluxo geodésico para uma construção explícita das equações hamiltonianas de movimento.
