Coomologia etal

A coomologia étale foi introduzida por Alexander Grothendieck (1960), com base em algumas sugestões de Jean-Pierre Serre, e foi motivada pela tentativa de construir uma teoria de coomologia de Weil para provar as conjecturas de Weil. Os fundamentos foram elaborados pouco depois por Grothendieck em conjunto com Michael Artin e publicados em (Artin 1962) e no SGA 4. Grothendieck utilizou a coomologia étale para provar algumas das conjecturas de Weil (Bernard Dwork já havia conseguido provar, em 1960, a parte da racionalidade da conjectura usando métodos p-ádicos), e a conjectura restante, o análogo da hipótese de Riemann, foi provada por Pierre Deligne (1974) usando coomologia ℓ-ádica. Um contato adicional com a teoria clássica foi encontrado na forma da versão de Grothendieck do grupo de Brauer; isso foi logo aplicado à geometria diofantina, por Yuri Manin. O peso e o sucesso da teoria geral consistiram certamente tanto em integrar toda essa informação quanto em provar resultados gerais como a dualidade de Poincaré e o teorema do ponto fixo de Lefschetz nesse contexto.

Para variedades algébricas complexas, invariantes da topologia algébrica, como o grupo fundamental e os grupos de coomologia, são muito úteis, e seria desejável ter análogos deles para variedades sobre outros corpos, como corpos finitos. (Uma das razões para isso é que Weil sugeriu que as conjecturas de Weil poderiam ser provadas usando tal teoria de coomologia.) No caso da coomologia de feixes coerentes, Serre mostrou que se podia obter uma teoria satisfatória apenas usando a topologia de Zariski da variedade algébrica, e no caso das variedades complexas isso dá os mesmos grupos de coomologia (para feixes coerentes) que a topologia complexa, muito mais fina. Contudo, para feixes constantes, como o feixe dos inteiros, isso não funciona: os grupos de coomologia definidos usando a topologia de Zariski comportam-se mal. Por exemplo, Weil imaginava uma teoria de coomologia para variedades sobre corpos finitos com poder semelhante ao da coomologia singular usual de espaços topológicos, mas, na realidade, qualquer feixe constante sobre uma variedade irredutível tem coomologia trivial (todos os grupos de coomologia superiores se anulam).

Para qualquer esquema X, a categoria Et(X) é a categoria de todos os morfismos étales de um esquema para X. Ela é um análogo da categoria dos subconjuntos abertos de um espaço topológico, e seus objetos podem ser pensados informalmente como "subconjuntos abertos étales" de X. A interseção de dois abertos de um espaço topológico corresponde ao produto fibrado de dois morfismos étales para X. Há aqui um problema seteórico relativamente menor, pois Et(X) é uma categoria "grande": seus objetos não formam um conjunto. Um pré-feixe sobre um espaço topológico X é um funtor contravariante da categoria dos subconjuntos abertos para a categoria dos conjuntos. Por analogia, definimos um pré-feixe étale sobre um esquema X como um funtor contravariante de Et(X) para a categoria dos conjuntos. Um pré-feixe F sobre um espaço topológico é chamado de feixe se satisfaz a condição de feixe: sempre que um subconjunto aberto U é coberto por abertos Ui, e são dados elementos de F(Ui) para todo i, cujas restrições a Ui ∩ Uj coincidem para todos i, j, então eles são imagens de um único elemento de F(U). Por analogia, um pré-feixe étale é chamado de feixe se satisfaz a mesma condição (com as interseções de abertos substituídas por produtos fibrados de morfismos étales, e onde se diz que um conjunto de morfismos étales para U cobre U se o espaço topológico subjacente a U for a união de suas imagens). Mais geralmente, pode-se definir um feixe de modo semelhante para qualquer topologia de Grothendieck sobre uma categoria.

Em aplicações à geometria algébrica sobre um corpo finito Fq de característica p, o principal objetivo era encontrar um substituto para os grupos de coomologia singular com coeficientes inteiros (ou racionais), que não estão disponíveis da mesma forma que na geometria de uma variedade algébrica sobre o corpo dos números complexos. A coomologia étale funciona bem para coeficientes Z/nZ com n coprimo a p, mas dá resultados insatisfatórios para coeficientes não de torção. Para obter grupos de coomologia sem torção a partir da coomologia étale, é preciso tomar um limite inverso de grupos de coomologia étale com certos coeficientes de torção; isso é chamado de coomologia ℓ-ádica, em que ℓ representa qualquer número primo diferente de p. Consideram-se, para esquemas V, os grupos de coomologia e define-se o grupo de coomologia ℓ-ádica como o seu limite inverso. Aqui Zℓ denota os inteiros ℓ-ádicos, mas a definição é feita por meio do sistema de feixes "constantes" com coeficientes finitos Z/ℓkZ. (Há aqui uma armadilha notória: a coomologia não comuta com a passagem a limites inversos, e o grupo de coomologia ℓ-ádica, definido como limite inverso, não é a coomologia com coeficientes no feixe étale Zℓ; este último grupo de coomologia também existe, mas dá os grupos de coomologia "errados".)

Em geral, os grupos de coomologia ℓ-ádica de uma variedade tendem a ter propriedades semelhantes às dos grupos de coomologia singular de variedades complexas, exceto pelo fato de serem módulos sobre os inteiros ℓ-ádicos (ou números ℓ-ádicos), em vez de sobre os inteiros (ou racionais). Eles satisfazem uma forma de dualidade de Poincaré em variedades projetivas não singulares, e os grupos de coomologia ℓ-ádica de uma "redução módulo p" de uma variedade complexa tendem a ter o mesmo posto que os grupos de coomologia singular. Uma fórmula de Künneth também vale. Por exemplo, o primeiro grupo de coomologia de uma curva elíptica complexa é um módulo livre de posto 2 sobre os inteiros, enquanto o primeiro grupo de coomologia ℓ-ádica de uma curva elíptica sobre um corpo finito é um módulo livre de posto 2 sobre os inteiros ℓ-ádicos, desde que ℓ não seja a característica do corpo em questão, e é dual ao seu módulo de Tate.

O principal passo inicial no cálculo dos grupos de coomologia étale de uma variedade é calculá-los para curvas algébricas completas, conexas e suaves X sobre corpos algebricamente fechados k. Os grupos de coomologia étale de variedades arbitrárias podem então ser controlados usando análogos do maquinário usual da topologia algébrica, como a sequência espectral de uma fibração. Para curvas, o cálculo ocorre em várias etapas, como segue (Artin 1962). Seja Gm o feixe das funções não nulas.

Os grupos de coomologia étale com suporte compacto de uma variedade X são definidos por em que j é uma imersão aberta de X numa variedade própria Y, e j! denota a extensão por zero do feixe étale F a Y. Essa definição não depende da escolha da imersão j. Se X tem dimensão no máximo n e F é um feixe de torção, então os grupos H c q ( X , F ) {\displaystyle H_{c}^{q}(X,F)} anulam-se para q > 2n. Além disso, se X é afim de tipo finito sobre um corpo separavelmente fechado, então os grupos H q ( X , F ) {\displaystyle H^{q}(X,F)} anulam-se para q > n. De forma mais geral, se f é um morfismo separado de tipo finito de X para S (com X e S noetherianos), definem-se as imagens diretas superiores com suporte compacto Rqf! por para qualquer feixe de torção F. Aqui, j é uma imersão aberta qualquer de X em um esquema Y munido de um morfismo próprio g para S tal que f = gj. Como antes, a definição independe da escolha de j e de Y. A coomologia com suporte compacto corresponde ao caso particular em que S é um ponto. Se f é um morfismo separado de tipo finito, então Rqf! leva feixes construtíveis sobre X em feixes construtíveis sobre S. Se, além disso, as fibras de f têm dimensão no máximo n, então Rqf! se anula em feixes de torção para q > 2n. Quando X é uma variedade complexa, Rqf! coincide, para feixes de torção, com a imagem direta superior usual com suporte compacto na topologia complexa.

A teoria pode ser aplicada à função zeta local de uma curva algébrica. Teorema. Seja X uma curva de gênero g definida sobre Fp, o corpo finito com p elementos. Então, para n ≥ 1, em que αi são certos números algébricos tais que | α i | = p {\displaystyle |\alpha _{i}|={\sqrt {p}}} . Esse resultado é compatível com o caso de P1(Fpn), que é uma curva de gênero 0 com pn + 1 pontos. Ele também mostra que o número de pontos de qualquer curva fica bastante próximo do da reta projetiva, com diferença limitada por 2gpn / 2. Em particular, isso generaliza o teorema de Hasse sobre curvas elípticas.