Conjecturas de Weil
Na matemática, as conjecturas de Weil foram propostas altamente influentes de André Weil. Elas levaram a um programa de várias décadas, bem-sucedido, para prová-las, no qual muitos pesquisadores de ponta desenvolveram a estrutura da geometria algébrica moderna e da teoria dos números.
O antecedente mais antigo das conjecturas de Weil é de Carl Friedrich Gauss e aparece na seção VII de sua Disquisitiones Arithmeticae (Mazur 1974), tratando de raízes da unidade e períodos de Gauss. No artigo 358, ele avança a partir dos períodos que constroem torres de extensões quadráticas, para a construção de polígonos regulares; e assume que p é um número primo congruente a 1 módulo 3. Então existe um corpo cúbico cíclico dentro do corpo ciclotômico de raízes da unidade de ordem p, e uma base integral normal de períodos para os inteiros deste corpo (um caso do teorema de Hilbert–Speiser). Gauss constrói os períodos de ordem 3, correspondendo ao grupo cíclico (Z/pZ)× de resíduos não nulos módulo p sob a multiplicação e seu único subgrupo de índice três. Gauss define R {\displaystyle {\mathfrak {R}}} , R ′ {\displaystyle {\mathfrak {R}}'} e R ″ {\displaystyle {\mathfrak {R}}''} como sendo suas classes laterais. Tomando os períodos (somas de raízes da unidade) correspondentes a essas classes laterais aplicadas a exp(2πi/p), ele nota que esses períodos têm uma tabela de multiplicação que é acessível ao cálculo. Os produtos são combinações lineares dos períodos, e ele determina os coeficientes. Ele estabelece, por exemplo, ( R R ) {\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})} como sendo igual ao número de elementos de Z/pZ que estão em R {\displaystyle {\mathfrak {R}}} e que, após serem incrementados em um, também estão em R {\displaystyle {\mathfrak {R}}} . Ele prova que este número e outros relacionados são os coeficientes dos produtos dos períodos. Para ver a relação desses conjuntos com as conjecturas de Weil, note que se α e α + 1 estão ambos em R {\displaystyle {\mathfrak {R}}} , então existem x e y em Z/pZ tais que x3 = α e y3 = α + 1; consequentemente, x3 + 1 = y3. Portanto, ( R R ) {\displaystyle ({\mathfrak {R}}{\mathfrak {R}})} está relacionado ao número de soluções para x3 + 1 = y3 no corpo finito Z/pZ. Os outros coeficientes têm interpretações semelhantes. A determinação de Gauss dos coeficientes dos produtos dos períodos, portanto, conta o número de pontos nestas curvas elípticas, e como subproduto ele prova o análogo da hipótese de Riemann.
Suponha que X é uma variedade algébrica projetiva não singular de dimensão n sobre o corpo Fq com q elementos. A função zeta ζ(X, s) de X é, por definição: onde Nm é o número de pontos de X definidos sobre a extensão de grau m Fqm de Fq.
A reta projetiva
O exemplo mais simples (além de um ponto) é tomar X como a reta projetiva. O número de pontos de X sobre um corpo com qm elementos é apenas Nm = qm + 1 (onde o "+ 1" vem do "ponto no infinito"). A função zeta é simplesmente É fácil verificar todas as partes das conjecturas de Weil diretamente. Por exemplo, a variedade complexa correspondente é a Esfera de Riemann e seus números de Betti iniciais são 1, 0, 1.
Espaço projetivo
Não é muito mais difícil fazer para o espaço projetivo de dimensão n. O número de pontos de X sobre um corpo com qm elementos é apenas Nm = 1 + qm + q2m + ⋯ + qnm. A função zeta é simplesmente É novamente fácil verificar todas as partes das conjecturas de Weil diretamente. O (espaço projetivo complexo fornece os números de Betti relevantes, que quase determinam a resposta.) O número de pontos na reta projetiva e no espaço projetivo são tão fáceis de calcular porque eles podem ser escritos como uniões disjuntas de um número finito de cópias de espaços afins. Também é fácil provar as conjecturas de Weil para outros espaços, como Grassmannianas e variedades de bandeira (flag varieties), que têm a mesma propriedade de "pavimentação".
Curvas elípticas
Estas fornecem os primeiros casos não triviais das conjecturas de Weil (provadas por Hasse). Se E é uma curva elíptica sobre um corpo finito com q elementos, então o número de pontos de E definidos sobre o corpo com qm elementos é 1 − αm − βm + qm, onde α e β são complexos conjugados com valor absoluto √q.A função zeta é Os números de Betti são dados pelo toro, 1,2,1, e o numerador é uma quadrática.
Curvas hiperelípticas
Como exemplo, considere a curva hiperelíptica que possui gênero g = 2 {\displaystyle g=2} e dimensão n = 1 {\displaystyle n=1} . Visto primeiramente como uma curva C / Q {\displaystyle C/\mathbb {Q} } definida sobre os números racionais Q {\displaystyle \mathbb {Q} } , esta curva tem boa redução em todos os primos 5 ≠ q ∈ P {\displaystyle 5\neq q\in \mathbb {P} } . Então, após a redução módulo q ≠ 5 {\displaystyle q\neq 5} , obtém-se uma curva hiperelíptica C / F q : y 2 + h ( x ) y = f ( x ) {\displaystyle C/{\bf {F}}_{q}:y^{2}+h(x)y=f(x)} de gênero 2, com h ( x ) = 1 , f ( x ) = x 5 ∈ F q [ x ] {\displaystyle h(x)=1,f(x)=x^{5}\in {\bf {F}}_{q}[x]} . Tomando q = 41 {\displaystyle q=41} como exemplo, os polinômios de Weil P i ( T ) {\displaystyle P_{i}(T)} , i = 0 , 1 , 2 , {\displaystyle i=0,1,2,} e a função zeta de C / F 41 {\displaystyle C/{\bf {F}}_{41}} assumem a forma
Superfícies abelianas
Uma superfície abeliana é uma variedade abeliana bidimensional. Isto é, são variedades projetivas que também têm a estrutura de um grupo, de uma forma que é compatível com a composição do grupo e com a tomada de inversos. Curvas elípticas representam variedades abelianas unidimensionais. Como um exemplo de uma superfície abeliana definida sobre um corpo finito, considere a variedade Jacobiana X := Jac ( C / F 41 ) {\displaystyle X:={\text{Jac}}(C/{\bf {F}}_{41})} da curva de gênero 2 que foi introduzida na seção sobre curvas hiperelípticas. A dimensão de X {\displaystyle X} é igual ao gênero de C {\displaystyle C} , então n = 2 {\displaystyle n=2} . Existem inteiros algébricos α 1 , … , α 4 {\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{4}} tais que
Weil sugeriu que as conjecturas seguiriam da existência de uma "teoria de cohomologia de Weil" adequada para variedades sobre corpos finitos, similar à cohomologia usual com coeficientes racionais para variedades complexas. A sua ideia era que, se F for o automorfismo de Frobenius sobre o corpo finito, então o número de pontos da variedade X sobre o corpo de ordem qm é o número de pontos fixos de Fm (agindo em todos os pontos da variedade X definidos sobre o fecho algébrico). Na topologia algébrica, o número de pontos fixos de um automorfismo pode ser calculado utilizando o Teorema do ponto fixo de Lefschetz, dado como uma soma alternada de traços nos grupos de cohomologia. Assim, se existissem grupos de cohomologia semelhantes para variedades sobre corpos finitos, a função zeta poderia ser expressa em termos deles. O primeiro problema com isso é que o corpo de coeficientes para uma teoria de cohomologia de Weil não pode ser os números racionais. Para ver isso, considere o caso de uma curva elíptica super-singular sobre um corpo finito de característica p. O anel de endomorfismos disso é uma ordem em uma álgebra de quatérnios sobre os racionais, e deve agir no primeiro grupo de cohomologia, que deveria ser um espaço vetorial de dimensão 2 sobre o corpo de coeficientes, por analogia com o caso de uma curva elíptica complexa. No entanto, uma álgebra de quatérnios sobre os racionais não pode agir num espaço vetorial de dimensão 2 sobre os racionais. O mesmo argumento elimina a possibilidade de o corpo de coeficientes ser os reais ou os números p-ádicos, porque a álgebra de quatérnios ainda é uma álgebra de divisão sobre esses corpos. No entanto, não elimina a possibilidade de o corpo de coeficientes ser o corpo dos números ℓ-ádicos para algum primo ℓ ≠ p, porque sobre esses corpos a álgebra de divisão fatora-se (splits) e torna-se uma álgebra de matrizes, que pode atuar em um espaço vetorial bidimensional. Grothendieck e Michael Artin conseguiram construir teorias de cohomologia adequadas sobre o corpo de números ℓ-ádicos para cada primo ℓ ≠ p, chamadas de cohomologia ℓ-ádica.
No final de 1964, Grothendieck juntamente com Artin e Jean-Louis Verdier (e o trabalho anterior de 1960 de Dwork) provaram as conjecturas de Weil, com exceção da terceira conjectura, a mais difícil, mencionada acima (a conjectura da "hipótese de Riemann") (Grothendieck 1965). Os teoremas gerais sobre a cohomologia étale permitiram que Grothendieck provasse um análogo da fórmula de ponto fixo de Lefschetz para a teoria de cohomologia ℓ-ádica e, aplicando-a ao automorfismo de Frobenius F, ele foi capaz de provar a fórmula conjecturada para a função zeta: onde cada polinômio Pi é o determinante de I − TF no grupo de cohomologia ℓ-ádica Hi. A racionalidade da função zeta segue imediatamente. A equação funcional para a função zeta deriva da dualidade de Poincaré para a cohomologia ℓ-ádica, e a relação com os números de Betti complexos de um levantamento surge de um teorema de comparação entre a cohomologia ℓ-ádica e a cohomologia ordinária para variedades complexas.
Verdier (1974), Serre (1975), Katz (1976) e Freitag & Kiehl (1988) forneceram exposições da primeira prova de Deligne (1974). Grande parte do embasamento em cohomologia ℓ-ádica é descrita em (Deligne 1977). A primeira prova de Deligne da terceira conjectura de Weil restante (a "conjectura da hipótese de Riemann") utilizou os seguintes passos:
A estimativa chave
O coração da prova de Deligne consiste em mostrar que o feixe E sobre U é puro, em outras palavras, encontrar os valores absolutos dos autovalores do Frobenius nas suas hastes (stalks). Isso é feito estudando as funções zeta das potências pares Ek de E e aplicando a fórmula de Grothendieck para as funções zeta como produtos alternados sobre os grupos de cohomologia. A ideia crucial de considerar potências pares k de E foi inspirada no artigo de Rankin (1939), que utilizou uma ideia semelhante com k = 2 para limitar a função tau de Ramanujan. Langlands (1970, seção 8) apontou que uma generalização do resultado de Rankin para valores pares mais altos de k implicaria a conjectura de Ramanujan, e Deligne percebeu que no caso das funções zeta de variedades, a teoria de Grothendieck das funções zeta de feixes fornecia um análogo dessa generalização.
Conclusão da prova
A dedução da hipótese de Riemann a partir desta estimativa é maioritariamente um uso bastante direto de técnicas padrão e é feita como se segue.
Deligne (1980) encontrou e provou uma generalização das conjecturas de Weil, estabelecendo limites para os pesos da imagem direta (pushforward) de um feixe. Na prática, é esta generalização em vez das conjecturas de Weil originais que é mais utilizada em aplicações, tal como o teorema de Lefschetz forte. Muito da segunda prova é um rearranjo das ideias da sua primeira prova. A principal ideia extra necessária é um argumento intimamente relacionado com o teorema de Jacques Hadamard e Charles-Jean de la Vallée Poussin, usado por Deligne para mostrar que várias séries-L não têm zeros com parte real 1. Um feixe construtível numa variedade sobre um corpo finito é dito ser puro de peso β se, para todos os pontos x, os autovalores do Frobenius em x têm todos valor absoluto N(x)β/2, e é chamado misto de peso ≤ β se puder ser escrito como extensões repetidas por feixes puros com pesos ≤ β. O teorema de Deligne afirma que, se f é um morfismo de esquemas do tipo finito sobre um corpo finito, então Rif! leva feixes mistos de peso ≤ β em feixes mistos de peso ≤ β + i.
