Cohomologia de Galois

A teoria atual da coomologia de Galois tomou forma por volta de 1950, quando percebeu-se que a coomologia de Galois de grupos de classes de ideais na teoria algébrica dos números era uma maneira de formular a teoria de corpos de classes, em uma época em que esta estava no processo de se desvincular das conexões com as funções L. A coomologia de Galois não pressupõe que os grupos de Galois sejam grupos abelianos, de modo que essa era uma teoria não abeliana. Foi formulada de forma abstrata como uma teoria de formações de classes. Dois desenvolvimentos da década de 1960 mudaram esse cenário. Primeiro, a coomologia de Galois apareceu como a camada fundamental da teoria de coomologia étale (em termos gerais, a teoria como ela se aplica a esquemas de dimensão zero). Segundo, a teoria não abeliana de corpos de classes foi lançada como parte do programa de Langlands. Os primeiros resultados identificáveis como coomologia de Galois eram conhecidos muito antes, na teoria algébrica dos números e na aritmética de curvas elípticas. O teorema da base normal implica que o primeiro grupo de coomologia do grupo aditivo de L se anulará; este é um resultado sobre extensões de corpos em geral, mas era conhecido de alguma forma por Richard Dedekind. O resultado correspondente para o grupo multiplicativo é conhecido como o teorema 90 de Hilbert, e era conhecido antes de 1900. A teoria de Kummer foi outra parte inicial da teoria, dando uma descrição do homomorfismo de conexão advindo da m-ésima função potência.

A coomologia de Galois é o estudo da coomologia de grupos dos grupos de Galois. Seja L | K {\displaystyle L|K} uma extensão de corpo com o grupo de Galois G ( L | K ) {\displaystyle G(L|K)} e M {\displaystyle M} um grupo abeliano sobre o qual G ( L | K ) {\displaystyle G(L|K)} atua. O grupo de coomologia: H n ( L | K , M ) := H n ( G ( L | K ) , M ) , n ≥ 0 {\displaystyle H^{n}(L|K,M):=H^{n}(G(L|K),M),\quad n\geq 0} é o grupo de coomologia de Galois associado à representação do grupo de Galois em M {\displaystyle M} . É possível, além disso, estender essa definição para o caso em que M {\displaystyle M} é um grupo não abeliano e n = 0 , 1 {\displaystyle n=0,1} , e essa extensão é necessária para algumas das aplicações mais importantes da teoria. Em particular, H 0 ( L | K , M ) {\displaystyle H^{0}(L|K,M)} é o conjunto de pontos fixos do grupo de Galois em M {\displaystyle M} , e H 1 ( L | K , M ) {\displaystyle H^{1}(L|K,M)} está relacionado aos 1-cociclos (que parametrizam álgebras de quatérnios, por exemplo).