Criptografia de curva elíptica

As curvas elípticas usadas em Criptografia são definidas tipicamente em dois tipos de campos finitos: campos de característica impar p ( F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} ,, onde p > 3 é um número principal grande) e campos da característica par ( F 2 m {\displaystyle \mathbb {F} _{2^{m}}} ).Quando a distinção não é importante nós denotamos ambos eles como F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}} ,onde q = p ou q = 2m. Em F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} os elementos são inteiros ( 0 ≤ x < p {\displaystyle 0\leq x<p} )que são combinados usando a aritmética modular. No caso F 2 m {\displaystyle \mathbb {F} _{2^{m}}} é um pouco mais complicado: um obtém representações diferentes dos elementos do campo como bitstrings para cada escolha do polinômio binário irretível f (x) do grau m.O conjunto de todos os pares das coordenadas (x, y) para ( x , y ) {\displaystyle (x,y)} para x , y ∈ F q {\displaystyle x,y\in \mathbb {F} _{q}} que forma o plano F q × F q {\displaystyle \mathbb {F} _{q}\times \mathbb {F} _{q}} . Uma curva elíptica é o locus dos pontos do plano cujas coordenadas satisfazem a uma determinada equação cúbica junto com um ponto na infinidade O. No caso p>3 a equação definida de E ( F p ) {\displaystyle E(\mathbb {F} _{p})} pode ser escrita y 2 = x 3 + a x + b {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b} , onde a ∈ F p {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{p}} e b ∈ F p {\displaystyle b\in \mathbb {F} _{p}} são constantes tanto que 4 a 3 + 27 b 2 ≠ 0 {\displaystyle 4a^{3}+27b^{2}\neq 0} . No outro caso a equação definida de E ( F 2 m ) {\displaystyle E(\mathbb {F} _{2^{m}})} pode ser escrita: y 2 + x y = x 3 + a x 2 + b {\displaystyle y^{2}+xy=x^{3}+ax^{2}+b} onde a ∈ F 2 m {\displaystyle a\in \mathbb {F} _{2^{m}}} e b ∈ F 2 m {\displaystyle b\in \mathbb {F} _{2^{m}}} são constantes e b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} . Embora o ponto na infinidade O não tenha coordenadas, é conveniente representá-las , usando um par das coordenadas que não satisfazem à equação definida, por exemplo O = ( 0 , 0 ) {\displaystyle O=(0,0)} se b ≠ 0 {\displaystyle b\neq 0} e O = ( 0 , 1 ) {\displaystyle O=(0,1)} . De acordo com o teorema de Hasse em curvas elípticas o número dos pontos em uma curva é quase o do tamanho do campo subjacente; mais precisamente: ( q − 1 ) 2 ≤ | E ( F q ) | ≤ ( q + 1 ) 2 {\displaystyle ({\sqrt {q}}-1)^{2}\leq |E(\mathbb {F} _{q})|\leq ({\sqrt {q}}+1)^{2}} . Os pontos em uma curva elíptica dão forma a um grupo abeliano ( E ( F ) , + ) {\displaystyle (E(\mathbb {F} ),+)} com O {\displaystyle O} o ponto distinto na infinidade. Ou seja dado dois pontos P , Q ∈ E ( F q ) {\displaystyle P,Q\in E(\mathbb {F} _{q})} , , há um terceiro ponto, denotado por P + Q {\displaystyle P+Q} on E ( F q ) {\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})} , e as seguintes relações servem para todos P , Q , R ∈ E ( F q ) {\displaystyle P,Q,R\in E(\mathbb {F} _{q})} :

Desde que o grupo cíclico (aditivo) descrito acima pode ser considerado similar ao grupo (multiplicativo) de potências de um inteiro g de módulo primo p: ( g 0 , g , g 2 , g 3 , g 4 , … ) {\displaystyle (g^{0},g,g^{2},g^{3},g^{4},\ldots )} , o problema de encontrar k dados os pontos kG e G é chamado o Problema Discreto do Logaritmo da Curva Elíptica (em Inglês - Elliptic Curve Discrete Logarithm Problem - ECDLP). A dificuldade suposta de diversos problemas relacionados ao logaritmo discreto no subgrupo de E ( F q ) {\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})} permite o uso da Criptografia de Curva Elíptica (CCE). A maioria dos esquemas de curva elíptica criptográficos são relacionados aos esquemas discretos dos logarítmos que foram formulados originalmente para a aritmética modular usual: O esquema chave do acordo de Diffie-Hellman da curva elíptica é baseado no esquema de Diffie-Hellman. Nem todos os esquemas do DLP devem ser movidos ao domínio curva elíptica. Por exemplo, o poço - o esquema conhecido como Criptografia de ElGamal nunca foi estandardizado por corpos oficiais e não deve diretamente ser usado sobre uma curva elíptica (o esquema padrão de criptografia para ECC é chamado esquema integrado de Curva de Criptografia Elíptica). A razão principal é que embora seja simples converter uma mensagem arbitrária (de comprimento limitado) a um modulo inteiro p, não é simples converter bitstring a um ponto de curva. Na conferência 2005 de RSA ,a agência da segurança nacional (NSA) anunciou o Suite B que usa exclusivamente ECC para a geração digital da assinatura e a troca da chave. O suite é pretende proteger sistemas classificados e não-classificados e informação da segurança nacional. Uma outra fonte principal de aplicações criptográficas de curvas elípticas é o operador bilinear (baseado em se Weil pairing ou Tate pairing) que permite fazer, por exemplo, eficiente criptografia de identidade-baseada.

Mesmo que os detalhes de cada curva elíptica em particular sejam descritos em seus próprios artigos, aqui você encontrará algumas implementações sobre alguns assuntos.