Categoria pré-abeliana

O exemplo mais fundamental e original de uma categoria aditiva que também é pré-abeliana é a categoria Ab, que representa os grupos Abelianos. Ab é pré-aditiva porque se comporta como uma categoria monoidal fechada. Nela, o biproduto corresponde à soma direta finita, o núcleo é a inclusão do núcleo ordinário da teoria de grupos, e o conúcleo é o mapa quociente sobre o conúcleo ordinário da teoria de grupos. Compreender Ab oferece uma base sólida para entender o conceito de categoria pré-abeliana; para explorar mais exemplos, é útil estudar as categorias Abelianas, pois toda categoria Abeliana é, por definição, também pré-Abeliana.

É claro que toda categoria pré-Abeliana é, por sua própria definição, uma categoria aditiva. Muitas de suas propriedades básicas já são abordadas no contexto das categorias aditivas. No entanto, este tópico foca nas propriedades exclusivas que surgem da existência de núcleos e conúcleos. Embora núcleos e conúcleos sejam tipos específicos de equalizadores e coequalizadores, uma categoria pré-Abeliana vai além, possuindo, de fato, todos os equalizadores e coequalizadores. Podemos construir o equalizador de dois morfismos, 'f' e 'g', como o núcleo de sua diferença (g − f). De forma análoga, o coequalizador é o conúcleo de sua diferença. (É por essa razão que o termo alternativo 'núcleo de diferença' é usado para equalizadores binários.) Uma vez que as categorias pré-Abelianas possuem todos os produtos e coprodutos finitos (os biprodutos), bem como todos os equalizadores e coequalizadores binários (conforme descrito), um teorema geral da teoria das categorias nos diz que elas possuem todos os limites e colimites. Isso significa que as categorias pré-Abelianas são consideradas finitamente completas.